Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120012 / 119444
↖ ↑ ↗
← S 81.369534°
E149.622803°		 ← 45.83 m → S 81.369534°
E149.625549°		 →
↑
45.87 m
↓
↑
45.87 m
↓
S 81.369947°
E149.622803°		 ← 45.83 m →
2 102 m²		 S 81.369947°
E149.625549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915622711181641 y=0.911289215087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915622711181641 × 217)
    floor (0.915622711181641 × 131072)
    floor (120012.5)     		tx = 120012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911289215087891 × 217)
    floor (0.911289215087891 × 131072)
    floor (119444.5)     		ty = 119444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120012 / 119444 ti = "17/120012/119444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120012/119444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120012 ÷ 217
    120012 ÷ 131072     		x = 0.915618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119444 ÷ 217
    119444 ÷ 131072     		y = 0.911285400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915618896484375 × 2 - 1) × π
    0.83123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61141054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911285400390625 × 2 - 1) × π
    -0.82257080078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58418238471799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61141054} λ = 2.61141054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58418238471799))-π/2
    2×atan(0.0754577497958248)-π/2
    2×0.0753150214957604-π/2
    0.150630042991521-1.57079632675     		φ = -1.42016628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61141054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.622803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42016628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.369534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120012 KachelY 119444 2.61141054 -1.42016628 149.622803 -81.369534
    Oben rechts KachelX + 1 120013 KachelY 119444 2.61145848 -1.42016628 149.625549 -81.369534
    Unten links KachelX 120012 KachelY + 1 119445 2.61141054 -1.42017348 149.622803 -81.369947
    Unten rechts KachelX + 1 120013 KachelY + 1 119445 2.61145848 -1.42017348 149.625549 -81.369947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42016628--1.42017348) × R
    7.20000000020704e-06 × 6371000     		dl = 45.8712000013191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42016628--1.42017348) × R
    7.20000000020704e-06 × 6371000     		dr = 45.8712000013191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61141054-2.61145848) × cos(-1.42016628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150061074820522 × 6371000     		do = 45.8325148222231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61141054-2.61145848) × cos(-1.42017348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150053956344185 × 6371000     		du = 45.8303406563205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42016628)-sin(-1.42017348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150061074820522-0.150053956344185)×R²
    abs(2.61145848-2.61141054)×7.11847633619311e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.11847633619311e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.11847633619311e-06×40589641000000     		ar = 2102.34258807999m²