Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120011 / 119445
↖ ↑ ↗
← S 81.369947°
E149.620056°		 ← 45.82 m → S 81.369947°
E149.622803°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
S 81.370359°
E149.620056°		 ← 45.82 m →
2 099 m²		 S 81.370359°
E149.622803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915615081787109 y=0.911296844482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915615081787109 × 217)
    floor (0.915615081787109 × 131072)
    floor (120011.5)     		tx = 120011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911296844482422 × 217)
    floor (0.911296844482422 × 131072)
    floor (119445.5)     		ty = 119445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120011 / 119445 ti = "17/120011/119445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120011/119445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120011 ÷ 217
    120011 ÷ 131072     		x = 0.915611267089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119445 ÷ 217
    119445 ÷ 131072     		y = 0.911293029785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915611267089844 × 2 - 1) × π
    0.831222534179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.61136261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911293029785156 × 2 - 1) × π
    -0.822586059570312 × 3.1415926535     		Φ = -2.58423032161761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61136261} λ = 2.61136261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58423032161761))-π/2
    2×atan(0.0754541326719448)-π/2
    2×0.0753114248497408-π/2
    0.150622849699482-1.57079632675     		φ = -1.42017348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61136261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.620056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42017348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.369947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120011 KachelY 119445 2.61136261 -1.42017348 149.620056 -81.369947
    Oben rechts KachelX + 1 120012 KachelY 119445 2.61141054 -1.42017348 149.622803 -81.369947
    Unten links KachelX 120011 KachelY + 1 119446 2.61136261 -1.42018067 149.620056 -81.370359
    Unten rechts KachelX + 1 120012 KachelY + 1 119446 2.61141054 -1.42018067 149.622803 -81.370359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42017348--1.42018067) × R
    7.18999999982373e-06 × 6371000     		dl = 45.807489998877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42017348--1.42018067) × R
    7.18999999982373e-06 × 6371000     		dr = 45.807489998877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61136261-2.61141054) × cos(-1.42017348) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150053956344185 × 6371000     		do = 45.8207807188199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61136261-2.61141054) × cos(-1.42018067) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15004684774686 × 6371000     		du = 45.81861002311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42017348)-sin(-1.42018067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150053956344185-0.15004684774686)×R²
    abs(2.61141054-2.61136261)×7.10859732572233e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.10859732572233e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.10859732572233e-06×40589641000000     		ar = 2098.88523760638m²