Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120010 / 119490
↖ ↑ ↗
← S 81.388473°
E149.617310°		 ← 45.73 m → S 81.388473°
E149.620056°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
S 81.388884°
E149.617310°		 ← 45.73 m →
2 092 m²		 S 81.388884°
E149.620056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915607452392578 y=0.911640167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915607452392578 × 217)
    floor (0.915607452392578 × 131072)
    floor (120010.5)     		tx = 120010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911640167236328 × 217)
    floor (0.911640167236328 × 131072)
    floor (119490.5)     		ty = 119490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120010 / 119490 ti = "17/120010/119490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120010/119490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120010 ÷ 217
    120010 ÷ 131072     		x = 0.915603637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119490 ÷ 217
    119490 ÷ 131072     		y = 0.911636352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915603637695312 × 2 - 1) × π
    0.831207275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61131467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911636352539062 × 2 - 1) × π
    -0.823272705078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58638748210051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61131467} λ = 2.61131467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58638748210051))-π/2
    2×atan(0.0752915414294242)-π/2
    2×0.0751497520810059-π/2
    0.150299504162012-1.57079632675     		φ = -1.42049682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61131467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.617310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42049682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.388473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120010 KachelY 119490 2.61131467 -1.42049682 149.617310 -81.388473
    Oben rechts KachelX + 1 120011 KachelY 119490 2.61136261 -1.42049682 149.620056 -81.388473
    Unten links KachelX 120010 KachelY + 1 119491 2.61131467 -1.42050400 149.617310 -81.388884
    Unten rechts KachelX + 1 120011 KachelY + 1 119491 2.61136261 -1.42050400 149.620056 -81.388884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42049682--1.42050400) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dl = 45.7437799992642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42049682--1.42050400) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dr = 45.7437799992642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61131467-2.61136261) × cos(-1.42049682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149734269422988 × 6371000     		do = 45.7327000418454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61131467-2.61136261) × cos(-1.42050400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149727170364468 × 6371000     		du = 45.7305318066436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42049682)-sin(-1.42050400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149734269422988-0.149727170364468)×R²
    abs(2.61136261-2.61131467)×7.09905852003256e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.09905852003256e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.09905852003256e-06×40589641000000     		ar = 2091.93697796409m²