Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120008 / 118822
↖ ↑ ↗
← S 81.109359°
E149.611817°		 ← 47.19 m → S 81.109359°
E149.614563°		 →
↑
47.21 m
↓
↑
47.21 m
↓
S 81.109783°
E149.611817°		 ← 47.19 m →
2 228 m²		 S 81.109783°
E149.614563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915592193603516 y=0.906543731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915592193603516 × 217)
    floor (0.915592193603516 × 131072)
    floor (120008.5)     		tx = 120008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906543731689453 × 217)
    floor (0.906543731689453 × 131072)
    floor (118822.5)     		ty = 118822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120008 / 118822 ti = "17/120008/118822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120008/118822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120008 ÷ 217
    120008 ÷ 131072     		x = 0.91558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118822 ÷ 217
    118822 ÷ 131072     		y = 0.906539916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91558837890625 × 2 - 1) × π
    0.8311767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61121880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906539916992188 × 2 - 1) × π
    -0.813079833984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55436563315431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61121880} λ = 2.61121880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55436563315431))-π/2
    2×atan(0.0777415330793038)-π/2
    2×0.077585481877637-π/2
    0.155170963755274-1.57079632675     		φ = -1.41562536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61121880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.611817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41562536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.109359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120008 KachelY 118822 2.61121880 -1.41562536 149.611817 -81.109359
    Oben rechts KachelX + 1 120009 KachelY 118822 2.61126673 -1.41562536 149.614563 -81.109359
    Unten links KachelX 120008 KachelY + 1 118823 2.61121880 -1.41563277 149.611817 -81.109783
    Unten rechts KachelX + 1 120009 KachelY + 1 118823 2.61126673 -1.41563277 149.614563 -81.109783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41562536--1.41563277) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dl = 47.2091100002612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41562536--1.41563277) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dr = 47.2091100002612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61121880-2.61126673) × cos(-1.41562536) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15454901419882 × 6371000     		do = 47.1934007102795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61121880-2.61126673) × cos(-1.41563277) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15454169322482 × 6371000     		du = 47.1911651627971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41562536)-sin(-1.41563277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15454901419882-0.15454169322482)×R²
    abs(2.61126673-2.61121880)×7.32097400044096e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.32097400044096e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.32097400044096e-06×40589641000000     		ar = 2227.90567623823m²