Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120005 / 119348
↖ ↑ ↗
← S 81.329877°
E149.603577°		 ← 46.03 m → S 81.329877°
E149.606323°		 →
↑
46 m
↓
↑
46 m
↓
S 81.330291°
E149.603577°		 ← 46.03 m →
2 117 m²		 S 81.330291°
E149.606323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915569305419922 y=0.910556793212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915569305419922 × 217)
    floor (0.915569305419922 × 131072)
    floor (120005.5)     		tx = 120005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910556793212891 × 217)
    floor (0.910556793212891 × 131072)
    floor (119348.5)     		ty = 119348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120005 / 119348 ti = "17/120005/119348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120005/119348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120005 ÷ 217
    120005 ÷ 131072     		x = 0.915565490722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119348 ÷ 217
    119348 ÷ 131072     		y = 0.910552978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915565490722656 × 2 - 1) × π
    0.831130981445312 × 3.1415926535     		Λ = 2.61107499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910552978515625 × 2 - 1) × π
    -0.82110595703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57958044235446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61107499} λ = 2.61107499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57958044235446))-π/2
    2×atan(0.0758058022556957)-π/2
    2×0.0756610943581537-π/2
    0.151322188716307-1.57079632675     		φ = -1.41947414
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61107499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.603577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41947414 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.329877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120005 KachelY 119348 2.61107499 -1.41947414 149.603577 -81.329877
    Oben rechts KachelX + 1 120006 KachelY 119348 2.61112292 -1.41947414 149.606323 -81.329877
    Unten links KachelX 120005 KachelY + 1 119349 2.61107499 -1.41948136 149.603577 -81.330291
    Unten rechts KachelX + 1 120006 KachelY + 1 119349 2.61112292 -1.41948136 149.606323 -81.330291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41947414--1.41948136) × R
    7.22000000008549e-06 × 6371000     		dl = 45.9986200005447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41947414--1.41948136) × R
    7.22000000008549e-06 × 6371000     		dr = 45.9986200005447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61107499-2.61112292) × cos(-1.41947414) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150745341532909 × 6371000     		do = 46.0319035035605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61107499-2.61112292) × cos(-1.41948136) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150738204034601 × 6371000     		du = 46.0297239825882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41947414)-sin(-1.41948136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150745341532909-0.150738204034601)×R²
    abs(2.61112292-2.61107499)×7.13749830752453e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.13749830752453e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.13749830752453e-06×40589641000000     		ar = 2117.35390972369m²