Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120004 / 119514
↖ ↑ ↗
← S 81.398337°
E149.600830°		 ← 45.68 m → S 81.398337°
E149.603577°		 →
↑
45.68 m
↓
↑
45.68 m
↓
S 81.398748°
E149.600830°		 ← 45.68 m →
2 087 m²		 S 81.398748°
E149.603577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915561676025391 y=0.911823272705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915561676025391 × 217)
    floor (0.915561676025391 × 131072)
    floor (120004.5)     		tx = 120004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911823272705078 × 217)
    floor (0.911823272705078 × 131072)
    floor (119514.5)     		ty = 119514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120004 / 119514 ti = "17/120004/119514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120004/119514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120004 ÷ 217
    120004 ÷ 131072     		x = 0.915557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119514 ÷ 217
    119514 ÷ 131072     		y = 0.911819458007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915557861328125 × 2 - 1) × π
    0.83111572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61102705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911819458007812 × 2 - 1) × π
    -0.823638916015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58753796769139
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61102705} λ = 2.61102705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58753796769139))-π/2
    2×atan(0.0752049694053765)-π/2
    2×0.0750636674937643-π/2
    0.150127334987529-1.57079632675     		φ = -1.42066899
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61102705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.600830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42066899 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.398337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120004 KachelY 119514 2.61102705 -1.42066899 149.600830 -81.398337
    Oben rechts KachelX + 1 120005 KachelY 119514 2.61107499 -1.42066899 149.603577 -81.398337
    Unten links KachelX 120004 KachelY + 1 119515 2.61102705 -1.42067616 149.600830 -81.398748
    Unten rechts KachelX + 1 120005 KachelY + 1 119515 2.61107499 -1.42067616 149.603577 -81.398748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42066899--1.42067616) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dl = 45.6800699996514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42066899--1.42067616) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dr = 45.6800699996514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61102705-2.61107499) × cos(-1.42066899) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149564038201666 × 6371000     		do = 45.680707045102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61102705-2.61107499) × cos(-1.42067616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149556948845688 × 6371000     		du = 45.6785417733063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42066899)-sin(-1.42067616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149564038201666-0.149556948845688)×R²
    abs(2.61107499-2.61102705)×7.08935597792948e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.08935597792948e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.08935597792948e-06×40589641000000     		ar = 2086.6484406244m²