Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120002 / 118210
↖ ↑ ↗
← S 80.845776°
E149.595337°		 ← 48.59 m → S 80.845776°
E149.598083°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
S 80.846212°
E149.595337°		 ← 48.59 m →
2 359 m²		 S 80.846212°
E149.598083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915546417236328 y=0.901874542236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915546417236328 × 217)
    floor (0.915546417236328 × 131072)
    floor (120002.5)     		tx = 120002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901874542236328 × 217)
    floor (0.901874542236328 × 131072)
    floor (118210.5)     		ty = 118210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120002 / 118210 ti = "17/120002/118210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120002/118210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120002 ÷ 217
    120002 ÷ 131072     		x = 0.915542602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118210 ÷ 217
    118210 ÷ 131072     		y = 0.901870727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915542602539062 × 2 - 1) × π
    0.831085205078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61093117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901870727539062 × 2 - 1) × π
    -0.803741455078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52502825058684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61093117} λ = 2.61093117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52502825058684))-π/2
    2×atan(0.0800560511243499)-π/2
    2×0.0798856801424371-π/2
    0.159771360284874-1.57079632675     		φ = -1.41102497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61093117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.595337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41102497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.845776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120002 KachelY 118210 2.61093117 -1.41102497 149.595337 -80.845776
    Oben rechts KachelX + 1 120003 KachelY 118210 2.61097911 -1.41102497 149.598083 -80.845776
    Unten links KachelX 120002 KachelY + 1 118211 2.61093117 -1.41103259 149.595337 -80.846212
    Unten rechts KachelX + 1 120003 KachelY + 1 118211 2.61097911 -1.41103259 149.598083 -80.846212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41102497--1.41103259) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dl = 48.5470200006179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41102497--1.41103259) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dr = 48.5470200006179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61093117-2.61097911) × cos(-1.41102497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15909247964158 × 6371000     		do = 48.5909383229327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61093117-2.61097911) × cos(-1.41103259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159084956687685 × 6371000     		du = 48.5886406191722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41102497)-sin(-1.41103259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15909247964158-0.159084956687685)×R²
    abs(2.61097911-2.61093117)×7.52295389544466e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.52295389544466e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.52295389544466e-06×40589641000000     		ar = 2358.88948130765m²