Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120000 / 119616
↖ ↑ ↗
← S 81.440137°
E149.589844°		 ← 45.46 m → S 81.440137°
E149.592590°		 →
↑
45.43 m
↓
↑
45.43 m
↓
S 81.440545°
E149.589844°		 ← 45.46 m →
2 065 m²		 S 81.440545°
E149.592590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915531158447266 y=0.912601470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915531158447266 × 217)
    floor (0.915531158447266 × 131072)
    floor (120000.5)     		tx = 120000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912601470947266 × 217)
    floor (0.912601470947266 × 131072)
    floor (119616.5)     		ty = 119616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120000 / 119616 ti = "17/120000/119616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120000/119616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120000 ÷ 217
    120000 ÷ 131072     		x = 0.91552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119616 ÷ 217
    119616 ÷ 131072     		y = 0.91259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61083530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91259765625 × 2 - 1) × π
    -0.8251953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59242753145264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61083530} λ = 2.61083530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59242753145264))-π/2
    2×atan(0.0748381474428201)-π/2
    2×0.0746988985403158-π/2
    0.149397797080632-1.57079632675     		φ = -1.42139853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61083530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42139853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.440137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120000 KachelY 119616 2.61083530 -1.42139853 149.589844 -81.440137
    Oben rechts KachelX + 1 120001 KachelY 119616 2.61088324 -1.42139853 149.592590 -81.440137
    Unten links KachelX 120000 KachelY + 1 119617 2.61083530 -1.42140566 149.589844 -81.440545
    Unten rechts KachelX + 1 120001 KachelY + 1 119617 2.61088324 -1.42140566 149.592590 -81.440545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42139853--1.42140566) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dl = 45.4252299997855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42139853--1.42140566) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dr = 45.4252299997855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61083530-2.61088324) × cos(-1.42139853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14884266430057 × 6371000     		do = 45.4603808875435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61083530-2.61088324) × cos(-1.42140566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148835613718636 × 6371000     		du = 45.4582274583388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42139853)-sin(-1.42140566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14884266430057-0.148835613718636)×R²
    abs(2.61088324-2.61083530)×7.050581934398e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.050581934398e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.050581934398e-06×40589641000000     		ar = 2064.99934760931m²