Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120000 / 119488
↖ ↑ ↗
← S 81.387650°
E149.589844°		 ← 45.74 m → S 81.387650°
E149.592590°		 →
↑
45.68 m
↓
↑
45.68 m
↓
S 81.388061°
E149.589844°		 ← 45.73 m →
2 089 m²		 S 81.388061°
E149.592590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915531158447266 y=0.911624908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915531158447266 × 217)
    floor (0.915531158447266 × 131072)
    floor (120000.5)     		tx = 120000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911624908447266 × 217)
    floor (0.911624908447266 × 131072)
    floor (119488.5)     		ty = 119488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120000 / 119488 ti = "17/120000/119488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120000/119488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120000 ÷ 217
    120000 ÷ 131072     		x = 0.91552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119488 ÷ 217
    119488 ÷ 131072     		y = 0.91162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61083530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91162109375 × 2 - 1) × π
    -0.8232421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58629160830127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61083530} λ = 2.61083530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58629160830127))-π/2
    2×atan(0.0752987602615946)-π/2
    2×0.0751569302177369-π/2
    0.150313860435474-1.57079632675     		φ = -1.42048247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61083530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42048247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.387650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120000 KachelY 119488 2.61083530 -1.42048247 149.589844 -81.387650
    Oben rechts KachelX + 1 120001 KachelY 119488 2.61088324 -1.42048247 149.592590 -81.387650
    Unten links KachelX 120000 KachelY + 1 119489 2.61083530 -1.42048964 149.589844 -81.388061
    Unten rechts KachelX + 1 120001 KachelY + 1 119489 2.61088324 -1.42048964 149.592590 -81.388061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42048247--1.42048964) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dl = 45.6800699996514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42048247--1.42048964) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dr = 45.6800699996514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61083530-2.61088324) × cos(-1.42048247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149748457629629 × 6371000     		do = 45.7370334853581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61083530-2.61088324) × cos(-1.42048964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149741368473789 × 6371000     		du = 45.7348682746896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42048247)-sin(-1.42048964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149748457629629-0.149741368473789)×R²
    abs(2.61088324-2.61083530)×7.08915584013425e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.08915584013425e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.08915584013425e-06×40589641000000     		ar = 2089.22143761772m²