Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120000 / 118209
↖ ↑ ↗
← S 80.845338°
E149.589844°		 ← 48.59 m → S 80.845338°
E149.592590°		 →
↑
48.61 m
↓
↑
48.61 m
↓
S 80.845776°
E149.589844°		 ← 48.59 m →
2 362 m²		 S 80.845776°
E149.592590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915531158447266 y=0.901866912841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915531158447266 × 217)
    floor (0.915531158447266 × 131072)
    floor (120000.5)     		tx = 120000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901866912841797 × 217)
    floor (0.901866912841797 × 131072)
    floor (118209.5)     		ty = 118209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120000 / 118209 ti = "17/120000/118209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120000/118209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120000 ÷ 217
    120000 ÷ 131072     		x = 0.91552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118209 ÷ 217
    118209 ÷ 131072     		y = 0.901863098144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61083530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901863098144531 × 2 - 1) × π
    -0.803726196289062 × 3.1415926535     		Φ = -2.52498031368722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61083530} λ = 2.61083530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52498031368722))-π/2
    2×atan(0.0800598888552203)-π/2
    2×0.079889493432867-π/2
    0.159778986865734-1.57079632675     		φ = -1.41101734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61083530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41101734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.845338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120000 KachelY 118209 2.61083530 -1.41101734 149.589844 -80.845338
    Oben rechts KachelX + 1 120001 KachelY 118209 2.61088324 -1.41101734 149.592590 -80.845338
    Unten links KachelX 120000 KachelY + 1 118210 2.61083530 -1.41102497 149.589844 -80.845776
    Unten rechts KachelX + 1 120001 KachelY + 1 118210 2.61088324 -1.41102497 149.592590 -80.845776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41101734--1.41102497) × R
    7.63000000003622e-06 × 6371000     		dl = 48.6107300002308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41101734--1.41102497) × R
    7.63000000003622e-06 × 6371000     		dr = 48.6107300002308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61083530-2.61088324) × cos(-1.41101734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159100012458863 × 6371000     		do = 48.5932390392255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61083530-2.61088324) × cos(-1.41102497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15909247964158 × 6371000     		du = 48.5909383229327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41101734)-sin(-1.41102497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159100012458863-0.15909247964158)×R²
    abs(2.61088324-2.61083530)×7.53281728249622e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.53281728249622e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.53281728249622e-06×40589641000000     		ar = 2362.09690301878m²