Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120000 / 118207
↖ ↑ ↗
← S 80.844465°
E149.589844°		 ← 48.60 m → S 80.844465°
E149.592590°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
S 80.844901°
E149.589844°		 ← 48.60 m →
2 359 m²		 S 80.844901°
E149.592590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915531158447266 y=0.901851654052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915531158447266 × 217)
    floor (0.915531158447266 × 131072)
    floor (120000.5)     		tx = 120000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901851654052734 × 217)
    floor (0.901851654052734 × 131072)
    floor (118207.5)     		ty = 118207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120000 / 118207 ti = "17/120000/118207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120000/118207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120000 ÷ 217
    120000 ÷ 131072     		x = 0.91552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118207 ÷ 217
    118207 ÷ 131072     		y = 0.901847839355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61083530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901847839355469 × 2 - 1) × π
    -0.803695678710938 × 3.1415926535     		Φ = -2.52488443988798
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61083530} λ = 2.61083530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52488443988798))-π/2
    2×atan(0.08006756486889)-π/2
    2×0.0798971205551546-π/2
    0.159794241110309-1.57079632675     		φ = -1.41100209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61083530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41100209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.844465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120000 KachelY 118207 2.61083530 -1.41100209 149.589844 -80.844465
    Oben rechts KachelX + 1 120001 KachelY 118207 2.61088324 -1.41100209 149.592590 -80.844465
    Unten links KachelX 120000 KachelY + 1 118208 2.61083530 -1.41100971 149.589844 -80.844901
    Unten rechts KachelX + 1 120001 KachelY + 1 118208 2.61088324 -1.41100971 149.592590 -80.844901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41100209--1.41100971) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dl = 48.5470200006179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41100209--1.41100971) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dr = 48.5470200006179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61083530-2.61088324) × cos(-1.41100209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15911506819304 × 6371000     		do = 48.5978374479778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61083530-2.61088324) × cos(-1.41100971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159107545266883 × 6371000     		du = 48.5955397526893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41100209)-sin(-1.41100971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15911506819304-0.159107545266883)×R²
    abs(2.61088324-2.61083530)×7.5229261570775e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.5229261570775e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.5229261570775e-06×40589641000000     		ar = 2359.22441347894m²