Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1200 / 880
↖ ↑ ↗
← N 80.297927°
W127.265625°		 ← 823.50 m → N 80.297927°
W127.221680°		 →
↑
823.77 m
↓
↑
823.77 m
↓
N 80.290519°
W127.265625°		 ← 824.12 m →
678 628 m²		 N 80.290519°
W127.221680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.14654541015625 y=0.10748291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.14654541015625 × 213)
    floor (0.14654541015625 × 8192)
    floor (1200.5)     		tx = 1200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10748291015625 × 213)
    floor (0.10748291015625 × 8192)
    floor (880.5)     		ty = 880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1200 / 880 ti = "13/1200/880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1200/880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1200 ÷ 213
    1200 ÷ 8192     		x = 0.146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 880 ÷ 213
    880 ÷ 8192     		y = 0.107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146484375 × 2 - 1) × π
    -0.70703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22120418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107421875 × 2 - 1) × π
    0.78515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.46664110684961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22120418} λ = -2.22120418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46664110684961))-π/2
    2×atan(11.7828031326758)-π/2
    2×1.4861297690383-π/2
    2.97225953807661-1.57079632675     		φ = 1.40146321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22120418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.265625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40146321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.297927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1200 KachelY 880 -2.22120418 1.40146321 -127.265625 80.297927
    Oben rechts KachelX + 1 1201 KachelY 880 -2.22043719 1.40146321 -127.221680 80.297927
    Unten links KachelX 1200 KachelY + 1 881 -2.22120418 1.40133391 -127.265625 80.290519
    Unten rechts KachelX + 1 1201 KachelY + 1 881 -2.22043719 1.40133391 -127.221680 80.290519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40146321-1.40133391) × R
    0.000129299999999999 × 6371000     		dl = 823.770299999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40146321-1.40133391) × R
    0.000129299999999999 × 6371000     		dr = 823.770299999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22120418--2.22043719) × cos(1.40146321) × R
    0.000766989999999801 × 0.168525041566953 × 6371000     		do = 823.496484813676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22120418--2.22043719) × cos(1.40133391) × R
    0.000766989999999801 × 0.168652490828134 × 6371000     		du = 824.119264773251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40146321)-sin(1.40133391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168525041566953-0.168652490828134)×R²
    abs(-2.22043719--2.22120418)×0.000127449261180884×R²
    0.000766989999999801×0.000127449261180884×6371000²
    0.000766989999999801×0.000127449261180884×40589641000000     		ar = 678628.461106929m²