Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119999 / 119495
↖ ↑ ↗
← S 81.390529°
E149.587097°		 ← 45.72 m → S 81.390529°
E149.589844°		 →
↑
45.68 m
↓
↑
45.68 m
↓
S 81.390940°
E149.587097°		 ← 45.72 m →
2 089 m²		 S 81.390940°
E149.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915523529052734 y=0.911678314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915523529052734 × 217)
    floor (0.915523529052734 × 131072)
    floor (119999.5)     		tx = 119999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911678314208984 × 217)
    floor (0.911678314208984 × 131072)
    floor (119495.5)     		ty = 119495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119999 / 119495 ti = "17/119999/119495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119999/119495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119999 ÷ 217
    119999 ÷ 131072     		x = 0.915519714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119495 ÷ 217
    119495 ÷ 131072     		y = 0.911674499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915519714355469 × 2 - 1) × π
    0.831039428710938 × 3.1415926535     		Λ = 2.61078736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911674499511719 × 2 - 1) × π
    -0.823348999023438 × 3.1415926535     		Φ = -2.58662716659861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61078736} λ = 2.61078736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58662716659861))-π/2
    2×atan(0.0752734973766318)-π/2
    2×0.0751318097158102-π/2
    0.15026361943162-1.57079632675     		φ = -1.42053271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61078736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.587097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42053271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.390529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119999 KachelY 119495 2.61078736 -1.42053271 149.587097 -81.390529
    Oben rechts KachelX + 1 120000 KachelY 119495 2.61083530 -1.42053271 149.589844 -81.390529
    Unten links KachelX 119999 KachelY + 1 119496 2.61078736 -1.42053988 149.587097 -81.390940
    Unten rechts KachelX + 1 120000 KachelY + 1 119496 2.61083530 -1.42053988 149.589844 -81.390940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42053271--1.42053988) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dl = 45.6800699996514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42053271--1.42053988) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dr = 45.6800699996514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61078736-2.61083530) × cos(-1.42053271) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.149698783940519 × 6371000     		do = 45.7218618625268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61078736-2.61083530) × cos(-1.42053988) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.149691694730747 × 6371000     		du = 45.719696635386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42053271)-sin(-1.42053988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149698783940519-0.149691694730747)×R²
    abs(2.61083530-2.61078736)×7.08920977240957e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.08920977240957e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.08920977240957e-06×40589641000000     		ar = 2088.52839666217m²