Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119996 / 119544
↖ ↑ ↗
← S 81.410652°
E149.578857°		 ← 45.62 m → S 81.410652°
E149.581604°		 →
↑
45.62 m
↓
↑
45.62 m
↓
S 81.411063°
E149.578857°		 ← 45.61 m →
2 081 m²		 S 81.411063°
E149.581604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915500640869141 y=0.912052154541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915500640869141 × 217)
    floor (0.915500640869141 × 131072)
    floor (119996.5)     		tx = 119996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912052154541016 × 217)
    floor (0.912052154541016 × 131072)
    floor (119544.5)     		ty = 119544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119996 / 119544 ti = "17/119996/119544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119996/119544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119996 ÷ 217
    119996 ÷ 131072     		x = 0.915496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119544 ÷ 217
    119544 ÷ 131072     		y = 0.91204833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915496826171875 × 2 - 1) × π
    0.83099365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61064355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91204833984375 × 2 - 1) × π
    -0.8240966796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58897607467999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61064355} λ = 2.61064355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58897607467999))-π/2
    2×atan(0.0750968943436742)-π/2
    2×0.0749561993758304-π/2
    0.149912398751661-1.57079632675     		φ = -1.42088393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61064355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.578857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42088393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.410652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119996 KachelY 119544 2.61064355 -1.42088393 149.578857 -81.410652
    Oben rechts KachelX + 1 119997 KachelY 119544 2.61069149 -1.42088393 149.581604 -81.410652
    Unten links KachelX 119996 KachelY + 1 119545 2.61064355 -1.42089109 149.578857 -81.411063
    Unten rechts KachelX + 1 119997 KachelY + 1 119545 2.61069149 -1.42089109 149.581604 -81.411063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42088393--1.42089109) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dl = 45.6163600000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42088393--1.42089109) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dr = 45.6163600000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61064355-2.61069149) × cos(-1.42088393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149351512384751 × 6371000     		do = 45.6157961902019m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61064355-2.61069149) × cos(-1.42089109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149344432686299 × 6371000     		du = 45.613633868063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42088393)-sin(-1.42089109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149351512384751-0.149344432686299)×R²
    abs(2.61069149-2.61064355)×7.07969845251122e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.07969845251122e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.07969845251122e-06×40589641000000     		ar = 2080.77726207918m²