Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119995 / 119545
↖ ↑ ↗
← S 81.411063°
E149.576111°		 ← 45.60 m → S 81.411063°
E149.578857°		 →
↑
45.62 m
↓
↑
45.62 m
↓
S 81.411473°
E149.576111°		 ← 45.60 m →
2 080 m²		 S 81.411473°
E149.578857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915493011474609 y=0.912059783935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915493011474609 × 217)
    floor (0.915493011474609 × 131072)
    floor (119995.5)     		tx = 119995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912059783935547 × 217)
    floor (0.912059783935547 × 131072)
    floor (119545.5)     		ty = 119545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119995 / 119545 ti = "17/119995/119545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119995/119545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119995 ÷ 217
    119995 ÷ 131072     		x = 0.915489196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119545 ÷ 217
    119545 ÷ 131072     		y = 0.912055969238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915489196777344 × 2 - 1) × π
    0.830978393554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.61059562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912055969238281 × 2 - 1) × π
    -0.824111938476562 × 3.1415926535     		Φ = -2.58902401157961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61059562} λ = 2.61059562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58902401157961))-π/2
    2×atan(0.0750932945176712)-π/2
    2×0.0749526197363922-π/2
    0.149905239472784-1.57079632675     		φ = -1.42089109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61059562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.576111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42089109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.411063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119995 KachelY 119545 2.61059562 -1.42089109 149.576111 -81.411063
    Oben rechts KachelX + 1 119996 KachelY 119545 2.61064355 -1.42089109 149.578857 -81.411063
    Unten links KachelX 119995 KachelY + 1 119546 2.61059562 -1.42089825 149.576111 -81.411473
    Unten rechts KachelX + 1 119996 KachelY + 1 119546 2.61064355 -1.42089825 149.578857 -81.411473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42089109--1.42089825) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dl = 45.6163600000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42089109--1.42089825) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dr = 45.6163600000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61059562-2.61064355) × cos(-1.42089109) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149344432686299 × 6371000     		do = 45.6041191343144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61059562-2.61064355) × cos(-1.42089825) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14933735298019 × 6371000     		du = 45.6019572608852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42089109)-sin(-1.42089825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149344432686299-0.14933735298019)×R²
    abs(2.61064355-2.61059562)×7.07970610874797e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.07970610874797e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.07970610874797e-06×40589641000000     		ar = 2080.24460751753m²