Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119994 / 118878
↖ ↑ ↗
← S 81.133098°
E149.573364°		 ← 47.08 m → S 81.133098°
E149.576111°		 →
↑
47.08 m
↓
↑
47.08 m
↓
S 81.133521°
E149.573364°		 ← 47.08 m →
2 216 m²		 S 81.133521°
E149.576111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915485382080078 y=0.906970977783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915485382080078 × 217)
    floor (0.915485382080078 × 131072)
    floor (119994.5)     		tx = 119994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906970977783203 × 217)
    floor (0.906970977783203 × 131072)
    floor (118878.5)     		ty = 118878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119994 / 118878 ti = "17/119994/118878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119994/118878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119994 ÷ 217
    119994 ÷ 131072     		x = 0.915481567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118878 ÷ 217
    118878 ÷ 131072     		y = 0.906967163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915481567382812 × 2 - 1) × π
    0.830963134765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61054768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906967163085938 × 2 - 1) × π
    -0.813934326171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55705009953304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61054768} λ = 2.61054768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55705009953304))-π/2
    2×atan(0.0775331184137625)-π/2
    2×0.0773783159169151-π/2
    0.15475663183383-1.57079632675     		φ = -1.41603969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61054768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.573364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41603969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.133098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119994 KachelY 118878 2.61054768 -1.41603969 149.573364 -81.133098
    Oben rechts KachelX + 1 119995 KachelY 118878 2.61059562 -1.41603969 149.576111 -81.133098
    Unten links KachelX 119994 KachelY + 1 118879 2.61054768 -1.41604708 149.573364 -81.133521
    Unten rechts KachelX + 1 119995 KachelY + 1 118879 2.61059562 -1.41604708 149.576111 -81.133521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41603969--1.41604708) × R
    7.3899999999405e-06 × 6371000     		dl = 47.0816899996209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41603969--1.41604708) × R
    7.3899999999405e-06 × 6371000     		dr = 47.0816899996209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61054768-2.61059562) × cos(-1.41603969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154139649069078 × 6371000     		do = 47.0782163802325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61054768-2.61059562) × cos(-1.41604708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154132347382227 × 6371000     		du = 47.0759862571229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41603969)-sin(-1.41604708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154139649069078-0.154132347382227)×R²
    abs(2.61059562-2.61054768)×7.301686850536e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.301686850536e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.301686850536e-06×40589641000000     		ar = 2216.46949032338m²