Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119993 / 119497
↖ ↑ ↗
← S 81.391351°
E149.570618°		 ← 45.72 m → S 81.391351°
E149.573364°		 →
↑
45.68 m
↓
↑
45.68 m
↓
S 81.391762°
E149.570618°		 ← 45.72 m →
2 088 m²		 S 81.391762°
E149.573364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915477752685547 y=0.911693572998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915477752685547 × 217)
    floor (0.915477752685547 × 131072)
    floor (119993.5)     		tx = 119993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911693572998047 × 217)
    floor (0.911693572998047 × 131072)
    floor (119497.5)     		ty = 119497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119993 / 119497 ti = "17/119993/119497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119993/119497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119993 ÷ 217
    119993 ÷ 131072     		x = 0.915473937988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119497 ÷ 217
    119497 ÷ 131072     		y = 0.911689758300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915473937988281 × 2 - 1) × π
    0.830947875976562 × 3.1415926535     		Λ = 2.61049974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911689758300781 × 2 - 1) × π
    -0.823379516601562 × 3.1415926535     		Φ = -2.58672304039785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61049974} λ = 2.61049974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58672304039785))-π/2
    2×atan(0.075266280966394)-π/2
    2×0.0751246339602192-π/2
    0.150249267920438-1.57079632675     		φ = -1.42054706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61049974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.570618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42054706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.391351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119993 KachelY 119497 2.61049974 -1.42054706 149.570618 -81.391351
    Oben rechts KachelX + 1 119994 KachelY 119497 2.61054768 -1.42054706 149.573364 -81.391351
    Unten links KachelX 119993 KachelY + 1 119498 2.61049974 -1.42055423 149.570618 -81.391762
    Unten rechts KachelX + 1 119994 KachelY + 1 119498 2.61054768 -1.42055423 149.573364 -81.391762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42054706--1.42055423) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dl = 45.6800699996514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42054706--1.42055423) × R
    7.16999999994528e-06 × 6371000     		dr = 45.6800699996514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61049974-2.61054768) × cos(-1.42054706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149684595625941 × 6371000     		do = 45.7175283856238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61049974-2.61054768) × cos(-1.42055423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149677506400767 × 6371000     		du = 45.715363153779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42054706)-sin(-1.42055423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149684595625941-0.149677506400767)×R²
    abs(2.61054768-2.61049974)×7.08922517375643e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.08922517375643e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.08922517375643e-06×40589641000000     		ar = 2088.33044277128m²