Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119990 / 119634
↖ ↑ ↗
← S 81.447492°
E149.562378°		 ← 45.42 m → S 81.447492°
E149.565125°		 →
↑
45.36 m
↓
↑
45.36 m
↓
S 81.447900°
E149.562378°		 ← 45.42 m →
2 060 m²		 S 81.447900°
E149.565125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915454864501953 y=0.912738800048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915454864501953 × 217)
    floor (0.915454864501953 × 131072)
    floor (119990.5)     		tx = 119990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912738800048828 × 217)
    floor (0.912738800048828 × 131072)
    floor (119634.5)     		ty = 119634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119990 / 119634 ti = "17/119990/119634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119990/119634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119990 ÷ 217
    119990 ÷ 131072     		x = 0.915451049804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119634 ÷ 217
    119634 ÷ 131072     		y = 0.912734985351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915451049804688 × 2 - 1) × π
    0.830902099609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61035593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912734985351562 × 2 - 1) × π
    -0.825469970703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5932903956458
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61035593} λ = 2.61035593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5932903956458))-π/2
    2×atan(0.0747736001368936)-π/2
    2×0.0746347104258843-π/2
    0.149269420851769-1.57079632675     		φ = -1.42152691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61035593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.562378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42152691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.447492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119990 KachelY 119634 2.61035593 -1.42152691 149.562378 -81.447492
    Oben rechts KachelX + 1 119991 KachelY 119634 2.61040387 -1.42152691 149.565125 -81.447492
    Unten links KachelX 119990 KachelY + 1 119635 2.61035593 -1.42153403 149.562378 -81.447900
    Unten rechts KachelX + 1 119991 KachelY + 1 119635 2.61040387 -1.42153403 149.565125 -81.447900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42152691--1.42153403) × R
    7.11999999980506e-06 × 6371000     		dl = 45.361519998758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42152691--1.42153403) × R
    7.11999999980506e-06 × 6371000     		dr = 45.361519998758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61035593-2.61040387) × cos(-1.42152691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148715713113193 × 6371000     		do = 45.421606727195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61035593-2.61040387) × cos(-1.42153403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148708672283888 × 6371000     		du = 45.4194562766941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42152691)-sin(-1.42153403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148715713113193-0.148708672283888)×R²
    abs(2.61040387-2.61035593)×7.04082930544359e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.04082930544359e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.04082930544359e-06×40589641000000     		ar = 2060.34434816509m²