Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119989 / 118899
↖ ↑ ↗
← S 81.141984°
E149.559632°		 ← 47.02 m → S 81.141984°
E149.562378°		 →
↑
47.02 m
↓
↑
47.02 m
↓
S 81.142407°
E149.559632°		 ← 47.02 m →
2 211 m²		 S 81.142407°
E149.562378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915447235107422 y=0.907131195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915447235107422 × 217)
    floor (0.915447235107422 × 131072)
    floor (119989.5)     		tx = 119989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907131195068359 × 217)
    floor (0.907131195068359 × 131072)
    floor (118899.5)     		ty = 118899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119989 / 118899 ti = "17/119989/118899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119989/118899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119989 ÷ 217
    119989 ÷ 131072     		x = 0.915443420410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118899 ÷ 217
    118899 ÷ 131072     		y = 0.907127380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915443420410156 × 2 - 1) × π
    0.830886840820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.61030800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907127380371094 × 2 - 1) × π
    -0.814254760742188 × 3.1415926535     		Φ = -2.55805677442506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61030800} λ = 2.61030800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55805677442506))-π/2
    2×atan(0.0774551070427875)-π/2
    2×0.0773007702339768-π/2
    0.154601540467954-1.57079632675     		φ = -1.41619479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61030800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.559632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41619479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.141984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119989 KachelY 118899 2.61030800 -1.41619479 149.559632 -81.141984
    Oben rechts KachelX + 1 119990 KachelY 118899 2.61035593 -1.41619479 149.562378 -81.141984
    Unten links KachelX 119989 KachelY + 1 118900 2.61030800 -1.41620217 149.559632 -81.142407
    Unten rechts KachelX + 1 119990 KachelY + 1 118900 2.61035593 -1.41620217 149.562378 -81.142407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41619479--1.41620217) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dl = 47.0179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41619479--1.41620217) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dr = 47.0179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61030800-2.61035593) × cos(-1.41619479) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15398640080464 × 6371000     		do = 47.0215999421273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61030800-2.61035593) × cos(-1.41620217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153979108821949 × 6371000     		du = 47.0193732474901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41619479)-sin(-1.41620217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15398640080464-0.153979108821949)×R²
    abs(2.61035593-2.61030800)×7.29198269072695e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.29198269072695e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.29198269072695e-06×40589641000000     		ar = 2210.80829820738m²