Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119988 / 118932
↖ ↑ ↗
← S 81.155930°
E149.556885°		 ← 46.96 m → S 81.155930°
E149.559632°		 →
↑
46.95 m
↓
↑
46.95 m
↓
S 81.156353°
E149.556885°		 ← 46.96 m →
2 205 m²		 S 81.156353°
E149.559632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915439605712891 y=0.907382965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915439605712891 × 217)
    floor (0.915439605712891 × 131072)
    floor (119988.5)     		tx = 119988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907382965087891 × 217)
    floor (0.907382965087891 × 131072)
    floor (118932.5)     		ty = 118932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119988 / 118932 ti = "17/119988/118932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119988/118932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119988 ÷ 217
    119988 ÷ 131072     		x = 0.915435791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118932 ÷ 217
    118932 ÷ 131072     		y = 0.907379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915435791015625 × 2 - 1) × π
    0.83087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61026006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.81475830078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55963869211252
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61026006} λ = 2.61026006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55963869211252))-π/2
    2×atan(0.0773326763021808)-π/2
    2×0.077179068464538-π/2
    0.154358136929076-1.57079632675     		φ = -1.41643819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61026006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.556885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41643819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.155930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119988 KachelY 118932 2.61026006 -1.41643819 149.556885 -81.155930
    Oben rechts KachelX + 1 119989 KachelY 118932 2.61030800 -1.41643819 149.559632 -81.155930
    Unten links KachelX 119988 KachelY + 1 118933 2.61026006 -1.41644556 149.556885 -81.156353
    Unten rechts KachelX + 1 119989 KachelY + 1 118933 2.61030800 -1.41644556 149.559632 -81.156353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41643819--1.41644556) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dl = 46.9542700003953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41643819--1.41644556) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dr = 46.9542700003953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61026006-2.61030800) × cos(-1.41643819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153745899285465 × 6371000     		do = 46.9579550611977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61026006-2.61030800) × cos(-1.41644556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153738616907507 × 6371000     		du = 46.9557308355211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41643819)-sin(-1.41644556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153745899285465-0.153738616907507)×R²
    abs(2.61030800-2.61026006)×7.28237795724618e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.28237795724618e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.28237795724618e-06×40589641000000     		ar = 2204.82428208326m²