Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119986 / 119289
↖ ↑ ↗
← S 81.305415°
E149.551391°		 ← 46.17 m → S 81.305415°
E149.554138°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
S 81.305830°
E149.551391°		 ← 46.17 m →
2 133 m²		 S 81.305830°
E149.554138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119289 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915424346923828 y=0.910106658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915424346923828 × 217)
    floor (0.915424346923828 × 131072)
    floor (119986.5)     		tx = 119986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910106658935547 × 217)
    floor (0.910106658935547 × 131072)
    floor (119289.5)     		ty = 119289
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119986 / 119289 ti = "17/119986/119289"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119986/119289.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119986 ÷ 217
    119986 ÷ 131072     		x = 0.915420532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119289 ÷ 217
    119289 ÷ 131072     		y = 0.910102844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915420532226562 × 2 - 1) × π
    0.830841064453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61016418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910102844238281 × 2 - 1) × π
    -0.820205688476562 × 3.1415926535     		Φ = -2.57675216527688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61016418} λ = 2.61016418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57675216527688))-π/2
    2×atan(0.0760205055456397)-π/2
    2×0.0758745674431219-π/2
    0.151749134886244-1.57079632675     		φ = -1.41904719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61016418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.551391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41904719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.305415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119986 KachelY 119289 2.61016418 -1.41904719 149.551391 -81.305415
    Oben rechts KachelX + 1 119987 KachelY 119289 2.61021212 -1.41904719 149.554138 -81.305415
    Unten links KachelX 119986 KachelY + 1 119290 2.61016418 -1.41905444 149.551391 -81.305830
    Unten rechts KachelX + 1 119987 KachelY + 1 119290 2.61021212 -1.41905444 149.554138 -81.305830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41904719--1.41905444) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dl = 46.1897500007977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41904719--1.41905444) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dr = 46.1897500007977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61016418-2.61021212) × cos(-1.41904719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151167398864459 × 6371000     		do = 46.1704146620223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61016418-2.61021212) × cos(-1.41905444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151160232176197 × 6371000     		du = 46.1682257709566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41904719)-sin(-1.41905444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151167398864459-0.151160232176197)×R²
    abs(2.61021212-2.61016418)×7.16668826175604e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.16668826175604e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.16668826175604e-06×40589641000000     		ar = 2132.54935844493m²