Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119986 / 117650
↖ ↑ ↗
← S 80.597807°
E149.551391°		 ← 49.90 m → S 80.597807°
E149.554138°		 →
↑
49.88 m
↓
↑
49.88 m
↓
S 80.598256°
E149.551391°		 ← 49.89 m →
2 489 m²		 S 80.598256°
E149.554138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117650 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915424346923828 y=0.897602081298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915424346923828 × 217)
    floor (0.915424346923828 × 131072)
    floor (119986.5)     		tx = 119986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897602081298828 × 217)
    floor (0.897602081298828 × 131072)
    floor (117650.5)     		ty = 117650
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119986 / 117650 ti = "17/119986/117650"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119986/117650.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119986 ÷ 217
    119986 ÷ 131072     		x = 0.915420532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117650 ÷ 217
    117650 ÷ 131072     		y = 0.897598266601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915420532226562 × 2 - 1) × π
    0.830841064453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61016418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.897598266601562 × 2 - 1) × π
    -0.795196533203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.49818358679961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61016418} λ = 2.61016418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49818358679961))-π/2
    2×atan(0.0822342343948339)-π/2
    2×0.0820496140827234-π/2
    0.164099228165447-1.57079632675     		φ = -1.40669710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61016418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.551391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40669710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.597807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119986 KachelY 117650 2.61016418 -1.40669710 149.551391 -80.597807
    Oben rechts KachelX + 1 119987 KachelY 117650 2.61021212 -1.40669710 149.554138 -80.597807
    Unten links KachelX 119986 KachelY + 1 117651 2.61016418 -1.40670493 149.551391 -80.598256
    Unten rechts KachelX + 1 119987 KachelY + 1 117651 2.61021212 -1.40670493 149.554138 -80.598256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40669710--1.40670493) × R
    7.83000000015299e-06 × 6371000     		dl = 49.8849300009747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40669710--1.40670493) × R
    7.83000000015299e-06 × 6371000     		dr = 49.8849300009747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61016418-2.61021212) × cos(-1.40669710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163363725250583 × 6371000     		do = 49.8954866737831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61016418-2.61021212) × cos(-1.40670493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163356000434505 × 6371000     		du = 49.8931273161164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40669710)-sin(-1.40670493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163363725250583-0.163356000434505)×R²
    abs(2.61021212-2.61016418)×7.72481607722031e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.72481607722031e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.72481607722031e-06×40589641000000     		ar = 2488.97401186856m²