Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119985 / 119343
↖ ↑ ↗
← S 81.327807°
E149.548645°		 ← 46.04 m → S 81.327807°
E149.551391°		 →
↑
46.06 m
↓
↑
46.06 m
↓
S 81.328221°
E149.548645°		 ← 46.04 m →
2 121 m²		 S 81.328221°
E149.551391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915416717529297 y=0.910518646240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915416717529297 × 217)
    floor (0.915416717529297 × 131072)
    floor (119985.5)     		tx = 119985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910518646240234 × 217)
    floor (0.910518646240234 × 131072)
    floor (119343.5)     		ty = 119343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119985 / 119343 ti = "17/119985/119343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119985/119343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119985 ÷ 217
    119985 ÷ 131072     		x = 0.915412902832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119343 ÷ 217
    119343 ÷ 131072     		y = 0.910514831542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915412902832031 × 2 - 1) × π
    0.830825805664062 × 3.1415926535     		Λ = 2.61011625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910514831542969 × 2 - 1) × π
    -0.821029663085938 × 3.1415926535     		Φ = -2.57934075785636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61011625} λ = 2.61011625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57934075785636))-π/2
    2×atan(0.0758239739090073)-π/2
    2×0.0756791621595984-π/2
    0.151358324319197-1.57079632675     		φ = -1.41943800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61011625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.548645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41943800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.327807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119985 KachelY 119343 2.61011625 -1.41943800 149.548645 -81.327807
    Oben rechts KachelX + 1 119986 KachelY 119343 2.61016418 -1.41943800 149.551391 -81.327807
    Unten links KachelX 119985 KachelY + 1 119344 2.61011625 -1.41944523 149.548645 -81.328221
    Unten rechts KachelX + 1 119986 KachelY + 1 119344 2.61016418 -1.41944523 149.551391 -81.328221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41943800--1.41944523) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dl = 46.0623300001575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41943800--1.41944523) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dr = 46.0623300001575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61011625-2.61016418) × cos(-1.41943800) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150781068449254 × 6371000     		do = 46.0428131472614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61011625-2.61016418) × cos(-1.41944523) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150773921104602 × 6371000     		du = 46.0406306195892m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41943800)-sin(-1.41944523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150781068449254-0.150773921104602)×R²
    abs(2.61016418-2.61011625)×7.14734465231959e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.14734465231959e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.14734465231959e-06×40589641000000     		ar = 2120.78898716686m²