Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119984 / 119496
↖ ↑ ↗
← S 81.390940°
E149.545898°		 ← 45.72 m → S 81.390940°
E149.548645°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
S 81.391351°
E149.545898°		 ← 45.72 m →
2 091 m²		 S 81.391351°
E149.548645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915409088134766 y=0.911685943603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915409088134766 × 217)
    floor (0.915409088134766 × 131072)
    floor (119984.5)     		tx = 119984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911685943603516 × 217)
    floor (0.911685943603516 × 131072)
    floor (119496.5)     		ty = 119496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119984 / 119496 ti = "17/119984/119496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119984/119496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119984 ÷ 217
    119984 ÷ 131072     		x = 0.9154052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119496 ÷ 217
    119496 ÷ 131072     		y = 0.91168212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9154052734375 × 2 - 1) × π
    0.830810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61006831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91168212890625 × 2 - 1) × π
    -0.8233642578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58667510349823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61006831} λ = 2.61006831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58667510349823))-π/2
    2×atan(0.0752698890850298)-π/2
    2×0.0751282217529878-π/2
    0.150256443505976-1.57079632675     		φ = -1.42053988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61006831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.545898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42053988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.390940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119984 KachelY 119496 2.61006831 -1.42053988 149.545898 -81.390940
    Oben rechts KachelX + 1 119985 KachelY 119496 2.61011625 -1.42053988 149.548645 -81.390940
    Unten links KachelX 119984 KachelY + 1 119497 2.61006831 -1.42054706 149.545898 -81.391351
    Unten rechts KachelX + 1 119985 KachelY + 1 119497 2.61011625 -1.42054706 149.548645 -81.391351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42053988--1.42054706) × R
    7.18000000010655e-06 × 6371000     		dl = 45.7437800006788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42053988--1.42054706) × R
    7.18000000010655e-06 × 6371000     		dr = 45.7437800006788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61006831-2.61011625) × cos(-1.42053988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149691694730747 × 6371000     		do = 45.7196966349625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61006831-2.61011625) × cos(-1.42054706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149684595625941 × 6371000     		du = 45.7175283856238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42053988)-sin(-1.42054706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149691694730747-0.149684595625941)×R²
    abs(2.61011625-2.61006831)×7.09910480603537e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.09910480603537e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.09910480603537e-06×40589641000000     		ar = 2091.34215261877m²