Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119983 / 119344
↖ ↑ ↗
← S 81.328221°
E149.543152°		 ← 46.05 m → S 81.328221°
E149.545898°		 →
↑
46.06 m
↓
↑
46.06 m
↓
S 81.328635°
E149.543152°		 ← 46.05 m →
2 121 m²		 S 81.328635°
E149.545898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915401458740234 y=0.910526275634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915401458740234 × 217)
    floor (0.915401458740234 × 131072)
    floor (119983.5)     		tx = 119983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910526275634766 × 217)
    floor (0.910526275634766 × 131072)
    floor (119344.5)     		ty = 119344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119983 / 119344 ti = "17/119983/119344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119983/119344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119983 ÷ 217
    119983 ÷ 131072     		x = 0.915397644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119344 ÷ 217
    119344 ÷ 131072     		y = 0.9105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915397644042969 × 2 - 1) × π
    0.830795288085938 × 3.1415926535     		Λ = 2.61002037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9105224609375 × 2 - 1) × π
    -0.821044921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57938869475598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61002037} λ = 2.61002037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57938869475598))-π/2
    2×atan(0.0758203392298995)-π/2
    2×0.0756755482568157-π/2
    0.151351096513631-1.57079632675     		φ = -1.41944523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61002037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.543152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41944523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.328221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119983 KachelY 119344 2.61002037 -1.41944523 149.543152 -81.328221
    Oben rechts KachelX + 1 119984 KachelY 119344 2.61006831 -1.41944523 149.545898 -81.328221
    Unten links KachelX 119983 KachelY + 1 119345 2.61002037 -1.41945246 149.543152 -81.328635
    Unten rechts KachelX + 1 119984 KachelY + 1 119345 2.61006831 -1.41945246 149.545898 -81.328635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41944523--1.41945246) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dl = 46.0623300001575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41944523--1.41945246) × R
    7.23000000002472e-06 × 6371000     		dr = 46.0623300001575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61002037-2.61006831) × cos(-1.41944523) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150773921104602 × 6371000     		do = 46.0502364260444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61002037-2.61006831) × cos(-1.41945246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150766773752068 × 6371000     		du = 46.0480534406078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41944523)-sin(-1.41945246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150773921104602-0.150766773752068)×R²
    abs(2.61006831-2.61002037)×7.14735253373733e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.14735253373733e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.14735253373733e-06×40589641000000     		ar = 2121.13091014031m²