Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119981 / 119299
↖ ↑ ↗
← S 81.309566°
E149.537659°		 ← 46.15 m → S 81.309566°
E149.540405°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
S 81.309981°
E149.537659°		 ← 46.15 m →
2 129 m²		 S 81.309981°
E149.540405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915386199951172 y=0.910182952880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915386199951172 × 217)
    floor (0.915386199951172 × 131072)
    floor (119981.5)     		tx = 119981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910182952880859 × 217)
    floor (0.910182952880859 × 131072)
    floor (119299.5)     		ty = 119299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119981 / 119299 ti = "17/119981/119299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119981/119299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119981 ÷ 217
    119981 ÷ 131072     		x = 0.915382385253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119299 ÷ 217
    119299 ÷ 131072     		y = 0.910179138183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915382385253906 × 2 - 1) × π
    0.830764770507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.60992450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910179138183594 × 2 - 1) × π
    -0.820358276367188 × 3.1415926535     		Φ = -2.57723153427308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60992450} λ = 2.60992450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57723153427308))-π/2
    2×atan(0.0759840724053623)-π/2
    2×0.0758383435446891-π/2
    0.151676687089378-1.57079632675     		φ = -1.41911964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60992450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.537659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41911964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.309566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119981 KachelY 119299 2.60992450 -1.41911964 149.537659 -81.309566
    Oben rechts KachelX + 1 119982 KachelY 119299 2.60997244 -1.41911964 149.540405 -81.309566
    Unten links KachelX 119981 KachelY + 1 119300 2.60992450 -1.41912688 149.537659 -81.309981
    Unten rechts KachelX + 1 119982 KachelY + 1 119300 2.60997244 -1.41912688 149.540405 -81.309981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41911964--1.41912688) × R
    7.24000000018599e-06 × 6371000     		dl = 46.1260400011849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41911964--1.41912688) × R
    7.24000000018599e-06 × 6371000     		dr = 46.1260400011849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60992450-2.60997244) × cos(-1.41911964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151095781050303 × 6371000     		do = 46.1485407381365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60992450-2.60997244) × cos(-1.41912688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151088624167862 × 6371000     		du = 46.1463548420207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41911964)-sin(-1.41912688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151095781050303-0.151088624167862)×R²
    abs(2.60997244-2.60992450)×7.15688244148915e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.15688244148915e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.15688244148915e-06×40589641000000     		ar = 2128.5990228573m²