Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119980 / 119354
↖ ↑ ↗
← S 81.332361°
E149.534912°		 ← 46.03 m → S 81.332361°
E149.537659°		 →
↑
46 m
↓
↑
46 m
↓
S 81.332775°
E149.534912°		 ← 46.03 m →
2 117 m²		 S 81.332775°
E149.537659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915378570556641 y=0.910602569580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915378570556641 × 217)
    floor (0.915378570556641 × 131072)
    floor (119980.5)     		tx = 119980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910602569580078 × 217)
    floor (0.910602569580078 × 131072)
    floor (119354.5)     		ty = 119354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119980 / 119354 ti = "17/119980/119354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119980/119354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119980 ÷ 217
    119980 ÷ 131072     		x = 0.915374755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119354 ÷ 217
    119354 ÷ 131072     		y = 0.910598754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915374755859375 × 2 - 1) × π
    0.83074951171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60987656
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910598754882812 × 2 - 1) × π
    -0.821197509765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57986806375218
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60987656} λ = 2.60987656}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57986806375218))-π/2
    2×atan(0.075784002020153)-π/2
    2×0.0756394186466954-π/2
    0.151278837293391-1.57079632675     		φ = -1.41951749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60987656} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.534912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41951749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.332361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119980 KachelY 119354 2.60987656 -1.41951749 149.534912 -81.332361
    Oben rechts KachelX + 1 119981 KachelY 119354 2.60992450 -1.41951749 149.537659 -81.332361
    Unten links KachelX 119980 KachelY + 1 119355 2.60987656 -1.41952471 149.534912 -81.332775
    Unten rechts KachelX + 1 119981 KachelY + 1 119355 2.60992450 -1.41952471 149.537659 -81.332775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41951749--1.41952471) × R
    7.21999999986345e-06 × 6371000     		dl = 45.99861999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41951749--1.41952471) × R
    7.21999999986345e-06 × 6371000     		dr = 45.99861999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60987656-2.60992450) × cos(-1.41951749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15070248676783 × 6371000     		do = 46.0284185408746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60987656-2.60992450) × cos(-1.41952471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15069534922235 × 6371000     		du = 46.0262385507644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41951749)-sin(-1.41952471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15070248676783-0.15069534922235)×R²
    abs(2.60992450-2.60987656)×7.13754548081758e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.13754548081758e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.13754548081758e-06×40589641000000     		ar = 2117.19359539478m²