Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11998 / 15094
↖ ↑ ↗
← N 14.030015°
W 48.186035°		 ← 1 185.20 m → N 14.030015°
W 48.175049°		 →
↑
1 185.20 m
↓
↑
1 185.20 m
↓
N 14.019356°
W 48.186035°		 ← 1 185.25 m →
1 404 724 m²		 N 14.019356°
W 48.175049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366165161132812 y=0.460647583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366165161132812 × 215)
    floor (0.366165161132812 × 32768)
    floor (11998.5)     		tx = 11998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460647583007812 × 215)
    floor (0.460647583007812 × 32768)
    floor (15094.5)     		ty = 15094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11998 / 15094 ti = "15/11998/15094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11998/15094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11998 ÷ 215
    11998 ÷ 32768     		x = 0.36614990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15094 ÷ 215
    15094 ÷ 32768     		y = 0.46063232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36614990234375 × 2 - 1) × π
    -0.2677001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84100497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46063232421875 × 2 - 1) × π
    0.0787353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.24735440203949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84100497} λ = -0.84100497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.24735440203949))-π/2
    2×atan(1.28063289127201)-π/2
    2×0.907833137376796-π/2
    1.81566627475359-1.57079632675     		φ = 0.24486995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84100497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.186035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24486995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.030015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11998 KachelY 15094 -0.84100497 0.24486995 -48.186035 14.030015
    Oben rechts KachelX + 1 11999 KachelY 15094 -0.84081322 0.24486995 -48.175049 14.030015
    Unten links KachelX 11998 KachelY + 1 15095 -0.84100497 0.24468392 -48.186035 14.019356
    Unten rechts KachelX + 1 11999 KachelY + 1 15095 -0.84081322 0.24468392 -48.175049 14.019356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24486995-0.24468392) × R
    0.000186030000000004 × 6371000     		dl = 1185.19713000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24486995-0.24468392) × R
    0.000186030000000004 × 6371000     		dr = 1185.19713000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84100497--0.84081322) × cos(0.24486995) × R
    0.000191749999999935 × 0.970168861218618 × 6371000     		do = 1185.19635999206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84100497--0.84081322) × cos(0.24468392) × R
    0.000191749999999935 × 0.970213943712954 × 6371000     		du = 1185.25143453663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24486995)-sin(0.24468392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970168861218618-0.970213943712954)×R²
    abs(-0.84081322--0.84100497)×4.50824943361017e-05×R²
    0.000191749999999935×4.50824943361017e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.50824943361017e-05×40589641000000     		ar = 1404723.96549615m²