Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119975 / 119521
↖ ↑ ↗
← S 81.401212°
E149.521179°		 ← 45.67 m → S 81.401212°
E149.523926°		 →
↑
45.68 m
↓
↑
45.68 m
↓
S 81.401623°
E149.521179°		 ← 45.66 m →
2 086 m²		 S 81.401623°
E149.523926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915340423583984 y=0.911876678466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915340423583984 × 217)
    floor (0.915340423583984 × 131072)
    floor (119975.5)     		tx = 119975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911876678466797 × 217)
    floor (0.911876678466797 × 131072)
    floor (119521.5)     		ty = 119521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119975 / 119521 ti = "17/119975/119521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119975/119521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119975 ÷ 217
    119975 ÷ 131072     		x = 0.915336608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119521 ÷ 217
    119521 ÷ 131072     		y = 0.911872863769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915336608886719 × 2 - 1) × π
    0.830673217773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.60963688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911872863769531 × 2 - 1) × π
    -0.823745727539062 × 3.1415926535     		Φ = -2.58787352598873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60963688} λ = 2.60963688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58787352598873))-π/2
    2×atan(0.0751797379874339)-π/2
    2×0.075038577929461-π/2
    0.150077155858922-1.57079632675     		φ = -1.42071917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60963688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.521179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42071917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.401212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119975 KachelY 119521 2.60963688 -1.42071917 149.521179 -81.401212
    Oben rechts KachelX + 1 119976 KachelY 119521 2.60968482 -1.42071917 149.523926 -81.401212
    Unten links KachelX 119975 KachelY + 1 119522 2.60963688 -1.42072634 149.521179 -81.401623
    Unten rechts KachelX + 1 119976 KachelY + 1 119522 2.60968482 -1.42072634 149.523926 -81.401623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42071917--1.42072634) × R
    7.17000000016732e-06 × 6371000     		dl = 45.680070001066m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42071917--1.42072634) × R
    7.17000000016732e-06 × 6371000     		dr = 45.680070001066m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60963688-2.60968482) × cos(-1.42071917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149514422435968 × 6371000     		do = 45.6655531131483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60963688-2.60968482) × cos(-1.42072634) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149507333026189 × 6371000     		du = 45.6633878249201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42071917)-sin(-1.42072634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149514422435968-0.149507333026189)×R²
    abs(2.60968482-2.60963688)×7.08940977967032e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.08940977967032e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.08940977967032e-06×40589641000000     		ar = 2085.9562076192m²