Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119971 / 119654
↖ ↑ ↗
← S 81.455658°
E149.510193°		 ← 45.38 m → S 81.455658°
E149.512940°		 →
↑
45.36 m
↓
↑
45.36 m
↓
S 81.456066°
E149.510193°		 ← 45.38 m →
2 058 m²		 S 81.456066°
E149.512940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915309906005859 y=0.912891387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915309906005859 × 217)
    floor (0.915309906005859 × 131072)
    floor (119971.5)     		tx = 119971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912891387939453 × 217)
    floor (0.912891387939453 × 131072)
    floor (119654.5)     		ty = 119654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119971 / 119654 ti = "17/119971/119654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119971/119654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119971 ÷ 217
    119971 ÷ 131072     		x = 0.915306091308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119654 ÷ 217
    119654 ÷ 131072     		y = 0.912887573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915306091308594 × 2 - 1) × π
    0.830612182617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.60944513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912887573242188 × 2 - 1) × π
    -0.825775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5942491336382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60944513} λ = 2.60944513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5942491336382))-π/2
    2×atan(0.0747019461997782)-π/2
    2×0.0745634545054687-π/2
    0.149126909010937-1.57079632675     		φ = -1.42166942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60944513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.510193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42166942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.455658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119971 KachelY 119654 2.60944513 -1.42166942 149.510193 -81.455658
    Oben rechts KachelX + 1 119972 KachelY 119654 2.60949307 -1.42166942 149.512940 -81.455658
    Unten links KachelX 119971 KachelY + 1 119655 2.60944513 -1.42167654 149.510193 -81.456066
    Unten rechts KachelX + 1 119972 KachelY + 1 119655 2.60949307 -1.42167654 149.512940 -81.456066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42166942--1.42167654) × R
    7.1200000000271e-06 × 6371000     		dl = 45.3615200001727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42166942--1.42167654) × R
    7.1200000000271e-06 × 6371000     		dr = 45.3615200001727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60944513-2.60949307) × cos(-1.42166942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148574786316007 × 6371000     		do = 45.3785640558784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60944513-2.60949307) × cos(-1.42167654) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148567745335878 × 6371000     		du = 45.3764135593124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42166942)-sin(-1.42167654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148574786316007-0.148567745335878)×R²
    abs(2.60949307-2.60944513)×7.04098012815901e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.04098012815901e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.04098012815901e-06×40589641000000     		ar = 2058.39186606478m²