Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119968 / 119453
↖ ↑ ↗
← S 81.373243°
E149.501953°		 ← 45.81 m → S 81.373243°
E149.504700°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
S 81.373655°
E149.501953°		 ← 45.81 m →
2 099 m²		 S 81.373655°
E149.504700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915287017822266 y=0.911357879638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915287017822266 × 217)
    floor (0.915287017822266 × 131072)
    floor (119968.5)     		tx = 119968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911357879638672 × 217)
    floor (0.911357879638672 × 131072)
    floor (119453.5)     		ty = 119453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119968 / 119453 ti = "17/119968/119453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119968/119453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119968 ÷ 217
    119968 ÷ 131072     		x = 0.915283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119453 ÷ 217
    119453 ÷ 131072     		y = 0.911354064941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915283203125 × 2 - 1) × π
    0.83056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60930132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911354064941406 × 2 - 1) × π
    -0.822708129882812 × 3.1415926535     		Φ = -2.58461381681457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60930132} λ = 2.60930132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58461381681457))-π/2
    2×atan(0.0754252019222307)-π/2
    2×0.0752826578173353-π/2
    0.150565315634671-1.57079632675     		φ = -1.42023101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60930132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.501953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42023101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.373243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119968 KachelY 119453 2.60930132 -1.42023101 149.501953 -81.373243
    Oben rechts KachelX + 1 119969 KachelY 119453 2.60934926 -1.42023101 149.504700 -81.373243
    Unten links KachelX 119968 KachelY + 1 119454 2.60930132 -1.42023820 149.501953 -81.373655
    Unten rechts KachelX + 1 119969 KachelY + 1 119454 2.60934926 -1.42023820 149.504700 -81.373655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42023101--1.42023820) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42023101--1.42023820) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60930132-2.60934926) × cos(-1.42023101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149997077461543 × 6371000     		do = 45.8129683814991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60930132-2.60934926) × cos(-1.42023820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149989968802162 × 6371000     		du = 45.8107972139472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42023101)-sin(-1.42023820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149997077461543-0.149989968802162)×R²
    abs(2.60934926-2.60930132)×7.10865938111094e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.10865938111094e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.10865938111094e-06×40589641000000     		ar = 2098.52736317232m²