Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119965 / 118185
↖ ↑ ↗
← S 80.834845°
E149.493713°		 ← 48.65 m → S 80.834845°
E149.496460°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
S 80.835282°
E149.493713°		 ← 48.65 m →
2 368 m²		 S 80.835282°
E149.496460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915264129638672 y=0.901683807373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915264129638672 × 217)
    floor (0.915264129638672 × 131072)
    floor (119965.5)     		tx = 119965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901683807373047 × 217)
    floor (0.901683807373047 × 131072)
    floor (118185.5)     		ty = 118185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119965 / 118185 ti = "17/119965/118185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119965/118185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119965 ÷ 217
    119965 ÷ 131072     		x = 0.915260314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118185 ÷ 217
    118185 ÷ 131072     		y = 0.901679992675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915260314941406 × 2 - 1) × π
    0.830520629882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.60915751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901679992675781 × 2 - 1) × π
    -0.803359985351562 × 3.1415926535     		Φ = -2.52382982809634
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60915751} λ = 2.60915751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52382982809634))-π/2
    2×atan(0.0801520496083996)-π/2
    2×0.0799810665642842-π/2
    0.159962133128568-1.57079632675     		φ = -1.41083419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60915751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.493713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41083419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.834845°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119965 KachelY 118185 2.60915751 -1.41083419 149.493713 -80.834845
    Oben rechts KachelX + 1 119966 KachelY 118185 2.60920545 -1.41083419 149.496460 -80.834845
    Unten links KachelX 119965 KachelY + 1 118186 2.60915751 -1.41084183 149.493713 -80.835282
    Unten rechts KachelX + 1 119966 KachelY + 1 118186 2.60920545 -1.41084183 149.496460 -80.835282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41083419--1.41084183) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41083419--1.41084183) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60915751-2.60920545) × cos(-1.41083419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15928082691094 × 6371000     		do = 48.6484644270537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60915751-2.60920545) × cos(-1.41084183) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159273284443765 × 6371000     		du = 48.6461607634355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41083419)-sin(-1.41084183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15928082691094-0.159273284443765)×R²
    abs(2.60920545-2.60915751)×7.54246717479812e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.54246717479812e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.54246717479812e-06×40589641000000     		ar = 2367.88069812922m²