Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119964 / 118188
↖ ↑ ↗
← S 80.836157°
E149.490967°		 ← 48.64 m → S 80.836157°
E149.493713°		 →
↑
48.61 m
↓
↑
48.61 m
↓
S 80.836594°
E149.490967°		 ← 48.64 m →
2 364 m²		 S 80.836594°
E149.493713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915256500244141 y=0.901706695556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915256500244141 × 217)
    floor (0.915256500244141 × 131072)
    floor (119964.5)     		tx = 119964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901706695556641 × 217)
    floor (0.901706695556641 × 131072)
    floor (118188.5)     		ty = 118188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119964 / 118188 ti = "17/119964/118188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119964/118188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119964 ÷ 217
    119964 ÷ 131072     		x = 0.915252685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118188 ÷ 217
    118188 ÷ 131072     		y = 0.901702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915252685546875 × 2 - 1) × π
    0.83050537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60910957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.80340576171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.5239736387952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60910957} λ = 2.60910957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5239736387952))-π/2
    2×atan(0.0801405237149236)-π/2
    2×0.0799696142340188-π/2
    0.159939228468038-1.57079632675     		φ = -1.41085710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60910957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.490967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41085710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.836157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119964 KachelY 118188 2.60910957 -1.41085710 149.490967 -80.836157
    Oben rechts KachelX + 1 119965 KachelY 118188 2.60915751 -1.41085710 149.493713 -80.836157
    Unten links KachelX 119964 KachelY + 1 118189 2.60910957 -1.41086473 149.490967 -80.836594
    Unten rechts KachelX + 1 119965 KachelY + 1 118189 2.60915751 -1.41086473 149.493713 -80.836594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41085710--1.41086473) × R
    7.62999999981417e-06 × 6371000     		dl = 48.6107299988161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41085710--1.41086473) × R
    7.62999999981417e-06 × 6371000     		dr = 48.6107299988161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60910957-2.60915751) × cos(-1.41085710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159258209353895 × 6371000     		do = 48.6415564429564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60910957-2.60915751) × cos(-1.41086473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159250676731226 × 6371000     		du = 48.6392557861034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41085710)-sin(-1.41086473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159258209353895-0.159250676731226)×R²
    abs(2.60915751-2.60910957)×7.53262266953159e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.53262266953159e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.53262266953159e-06×40589641000000     		ar = 2364.44564867129m²