Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119963 / 119607
↖ ↑ ↗
← S 81.436457°
E149.488220°		 ← 45.47 m → S 81.436457°
E149.490967°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
S 81.436866°
E149.488220°		 ← 45.47 m →
2 068 m²		 S 81.436866°
E149.490967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915248870849609 y=0.912532806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915248870849609 × 217)
    floor (0.915248870849609 × 131072)
    floor (119963.5)     		tx = 119963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912532806396484 × 217)
    floor (0.912532806396484 × 131072)
    floor (119607.5)     		ty = 119607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119963 / 119607 ti = "17/119963/119607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119963/119607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119963 ÷ 217
    119963 ÷ 131072     		x = 0.915245056152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119607 ÷ 217
    119607 ÷ 131072     		y = 0.912528991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915245056152344 × 2 - 1) × π
    0.830490112304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.60906164
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912528991699219 × 2 - 1) × π
    -0.825057983398438 × 3.1415926535     		Φ = -2.59199609935606
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60906164} λ = 2.60906164}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59199609935606))-π/2
    2×atan(0.0748704419876263)-π/2
    2×0.0747310131416947-π/2
    0.149462026283389-1.57079632675     		φ = -1.42133430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60906164} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.488220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42133430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.436457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119963 KachelY 119607 2.60906164 -1.42133430 149.488220 -81.436457
    Oben rechts KachelX + 1 119964 KachelY 119607 2.60910957 -1.42133430 149.490967 -81.436457
    Unten links KachelX 119963 KachelY + 1 119608 2.60906164 -1.42134144 149.488220 -81.436866
    Unten rechts KachelX + 1 119964 KachelY + 1 119608 2.60910957 -1.42134144 149.490967 -81.436866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42133430--1.42134144) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dl = 45.4889399993983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42133430--1.42134144) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dr = 45.4889399993983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60906164-2.60910957) × cos(-1.42133430) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148906178528516 × 6371000     		do = 45.4702929550379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60906164-2.60910957) × cos(-1.42134144) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148899118126235 × 6371000     		du = 45.4681369762646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42133430)-sin(-1.42134144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148906178528516-0.148899118126235)×R²
    abs(2.60910957-2.60906164)×7.06040228137805e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.06040228137805e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.06040228137805e-06×40589641000000     		ar = 2068.34639130533m²