Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119962 / 118006
↖ ↑ ↗
← S 80.756204°
E149.485474°		 ← 49.06 m → S 80.756204°
E149.488220°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
S 80.756645°
E149.485474°		 ← 49.06 m →
2 407 m²		 S 80.756645°
E149.488220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915241241455078 y=0.900318145751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915241241455078 × 217)
    floor (0.915241241455078 × 131072)
    floor (119962.5)     		tx = 119962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900318145751953 × 217)
    floor (0.900318145751953 × 131072)
    floor (118006.5)     		ty = 118006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119962 / 118006 ti = "17/119962/118006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119962/118006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119962 ÷ 217
    119962 ÷ 131072     		x = 0.915237426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118006 ÷ 217
    118006 ÷ 131072     		y = 0.900314331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915237426757812 × 2 - 1) × π
    0.830474853515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60901370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900314331054688 × 2 - 1) × π
    -0.800628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51524912306435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60901370} λ = 2.60901370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51524912306435))-π/2
    2×atan(0.0808427698992836)-π/2
    2×0.0806673398920456-π/2
    0.161334679784091-1.57079632675     		φ = -1.40946165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60901370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.485474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40946165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.756204°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119962 KachelY 118006 2.60901370 -1.40946165 149.485474 -80.756204
    Oben rechts KachelX + 1 119963 KachelY 118006 2.60906164 -1.40946165 149.488220 -80.756204
    Unten links KachelX 119962 KachelY + 1 118007 2.60901370 -1.40946935 149.485474 -80.756645
    Unten rechts KachelX + 1 119963 KachelY + 1 118007 2.60906164 -1.40946935 149.488220 -80.756645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40946165--1.40946935) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40946165--1.40946935) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60901370-2.60906164) × cos(-1.40946165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16063569366777 × 6371000     		do = 49.0622756088599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60901370-2.60906164) × cos(-1.40946935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160628093657011 × 6371000     		du = 49.0599543699499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40946165)-sin(-1.40946935))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16063569366777-0.160628093657011)×R²
    abs(2.60906164-2.60901370)×7.60001075883476e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.60001075883476e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.60001075883476e-06×40589641000000     		ar = 2406.77639965686m²