Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119961 / 119281
↖ ↑ ↗
← S 81.302093°
E149.482727°		 ← 46.19 m → S 81.302093°
E149.485474°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
S 81.302508°
E149.482727°		 ← 46.19 m →
2 133 m²		 S 81.302508°
E149.485474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915233612060547 y=0.910045623779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915233612060547 × 217)
    floor (0.915233612060547 × 131072)
    floor (119961.5)     		tx = 119961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910045623779297 × 217)
    floor (0.910045623779297 × 131072)
    floor (119281.5)     		ty = 119281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119961 / 119281 ti = "17/119961/119281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119961/119281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119961 ÷ 217
    119961 ÷ 131072     		x = 0.915229797363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119281 ÷ 217
    119281 ÷ 131072     		y = 0.910041809082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915229797363281 × 2 - 1) × π
    0.830459594726562 × 3.1415926535     		Λ = 2.60896576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910041809082031 × 2 - 1) × π
    -0.820083618164062 × 3.1415926535     		Φ = -2.57636867007992
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60896576} λ = 2.60896576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57636867007992))-π/2
    2×atan(0.076049664635215)-π/2
    2×0.0759035589232606-π/2
    0.151807117846521-1.57079632675     		φ = -1.41898921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60896576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.482727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41898921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.302093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119961 KachelY 119281 2.60896576 -1.41898921 149.482727 -81.302093
    Oben rechts KachelX + 1 119962 KachelY 119281 2.60901370 -1.41898921 149.485474 -81.302093
    Unten links KachelX 119961 KachelY + 1 119282 2.60896576 -1.41899646 149.482727 -81.302508
    Unten rechts KachelX + 1 119962 KachelY + 1 119282 2.60901370 -1.41899646 149.485474 -81.302508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41898921--1.41899646) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dl = 46.1897500007977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41898921--1.41899646) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dr = 46.1897500007977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60896576-2.60901370) × cos(-1.41898921) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.151224712314486 × 6371000     		do = 46.1879196653365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60896576-2.60901370) × cos(-1.41899646) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.151217545689779 × 6371000     		du = 46.185730793682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41898921)-sin(-1.41899646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151224712314486-0.151217545689779)×R²
    abs(2.60901370-2.60896576)×7.16662470726104e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.16662470726104e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.16662470726104e-06×40589641000000     		ar = 2133.35791058943m²