Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119959 / 119560
↖ ↑ ↗
← S 81.417213°
E149.477234°		 ← 45.57 m → S 81.417213°
E149.479980°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
S 81.417623°
E149.477234°		 ← 45.57 m →
2 076 m²		 S 81.417623°
E149.479980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915218353271484 y=0.912174224853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915218353271484 × 217)
    floor (0.915218353271484 × 131072)
    floor (119959.5)     		tx = 119959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912174224853516 × 217)
    floor (0.912174224853516 × 131072)
    floor (119560.5)     		ty = 119560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119959 / 119560 ti = "17/119959/119560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119959/119560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119959 ÷ 217
    119959 ÷ 131072     		x = 0.915214538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119560 ÷ 217
    119560 ÷ 131072     		y = 0.91217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915214538574219 × 2 - 1) × π
    0.830429077148438 × 3.1415926535     		Λ = 2.60886989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.8243408203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58974306507391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60886989} λ = 2.60886989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58974306507391))-π/2
    2×atan(0.0750393178302382)-π/2
    2×0.0748989455006241-π/2
    0.149797891001248-1.57079632675     		φ = -1.42099844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60886989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.477234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42099844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.417213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119959 KachelY 119560 2.60886989 -1.42099844 149.477234 -81.417213
    Oben rechts KachelX + 1 119960 KachelY 119560 2.60891782 -1.42099844 149.479980 -81.417213
    Unten links KachelX 119959 KachelY + 1 119561 2.60886989 -1.42100559 149.477234 -81.417623
    Unten rechts KachelX + 1 119960 KachelY + 1 119561 2.60891782 -1.42100559 149.479980 -81.417623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42099844--1.42100559) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42099844--1.42100559) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60886989-2.60891782) × cos(-1.42099844) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14923828573103 × 6371000     		do = 45.5717058845752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60886989-2.60891782) × cos(-1.42100559) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149231215798198 × 6371000     		du = 45.5695469955336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42099844)-sin(-1.42100559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14923828573103-0.149231215798198)×R²
    abs(2.60891782-2.60886989)×7.06993283203228e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.06993283203228e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.06993283203228e-06×40589641000000     		ar = 2075.86279640526m²