Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119959 / 118403
↖ ↑ ↗
← S 80.929725°
E149.477234°		 ← 48.14 m → S 80.929725°
E149.479980°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
S 80.930158°
E149.477234°		 ← 48.14 m →
2 319 m²		 S 80.930158°
E149.479980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915218353271484 y=0.903347015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915218353271484 × 217)
    floor (0.915218353271484 × 131072)
    floor (119959.5)     		tx = 119959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903347015380859 × 217)
    floor (0.903347015380859 × 131072)
    floor (118403.5)     		ty = 118403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119959 / 118403 ti = "17/119959/118403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119959/118403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119959 ÷ 217
    119959 ÷ 131072     		x = 0.915214538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118403 ÷ 217
    118403 ÷ 131072     		y = 0.903343200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915214538574219 × 2 - 1) × π
    0.830429077148438 × 3.1415926535     		Λ = 2.60886989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903343200683594 × 2 - 1) × π
    -0.806686401367188 × 3.1415926535     		Φ = -2.53428007221351
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60886989} λ = 2.60886989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53428007221351))-π/2
    2×atan(0.0793188025242822)-π/2
    2×0.0791530836255953-π/2
    0.158306167251191-1.57079632675     		φ = -1.41249016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60886989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.477234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41249016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.929725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119959 KachelY 118403 2.60886989 -1.41249016 149.477234 -80.929725
    Oben rechts KachelX + 1 119960 KachelY 118403 2.60891782 -1.41249016 149.479980 -80.929725
    Unten links KachelX 119959 KachelY + 1 118404 2.60886989 -1.41249772 149.477234 -80.930158
    Unten rechts KachelX + 1 119960 KachelY + 1 118404 2.60891782 -1.41249772 149.479980 -80.930158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41249016--1.41249772) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41249016--1.41249772) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60886989-2.60891782) × cos(-1.41249016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157645780512727 × 6371000     		do = 48.1390355583302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60886989-2.60891782) × cos(-1.41249772) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157638315040537 × 6371000     		du = 48.1367558865874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41249016)-sin(-1.41249772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157645780512727-0.157638315040537)×R²
    abs(2.60891782-2.60886989)×7.46547218977156e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.46547218977156e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.46547218977156e-06×40589641000000     		ar = 2318.5501942722m²