Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119955 / 119317
↖ ↑ ↗
← S 81.317033°
E149.466248°		 ← 46.11 m → S 81.317033°
E149.468994°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
S 81.317448°
E149.466248°		 ← 46.11 m →
2 127 m²		 S 81.317448°
E149.468994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119317 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915187835693359 y=0.910320281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915187835693359 × 217)
    floor (0.915187835693359 × 131072)
    floor (119955.5)     		tx = 119955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910320281982422 × 217)
    floor (0.910320281982422 × 131072)
    floor (119317.5)     		ty = 119317
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119955 / 119317 ti = "17/119955/119317"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119955/119317.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119955 ÷ 217
    119955 ÷ 131072     		x = 0.915184020996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119317 ÷ 217
    119317 ÷ 131072     		y = 0.910316467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915184020996094 × 2 - 1) × π
    0.830368041992188 × 3.1415926535     		Λ = 2.60867814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910316467285156 × 2 - 1) × π
    -0.820632934570312 × 3.1415926535     		Φ = -2.57809439846624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60867814} λ = 2.60867814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57809439846624))-π/2
    2×atan(0.0759185367482852)-π/2
    2×0.0757731837683639-π/2
    0.151546367536728-1.57079632675     		φ = -1.41924996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60867814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.466248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41924996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.317033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119955 KachelY 119317 2.60867814 -1.41924996 149.466248 -81.317033
    Oben rechts KachelX + 1 119956 KachelY 119317 2.60872608 -1.41924996 149.468994 -81.317033
    Unten links KachelX 119955 KachelY + 1 119318 2.60867814 -1.41925720 149.466248 -81.317448
    Unten rechts KachelX + 1 119956 KachelY + 1 119318 2.60872608 -1.41925720 149.468994 -81.317448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41924996--1.41925720) × R
    7.24000000018599e-06 × 6371000     		dl = 46.1260400011849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41924996--1.41925720) × R
    7.24000000018599e-06 × 6371000     		dr = 46.1260400011849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60867814-2.60872608) × cos(-1.41924996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150966955954951 × 6371000     		do = 46.1091942380581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60867814-2.60872608) × cos(-1.41925720) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150959798930012 × 6371000     		du = 46.10700829842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41924996)-sin(-1.41925720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150966955954951-0.150959798930012)×R²
    abs(2.60872608-2.60867814)×7.15702493872539e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.15702493872539e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.15702493872539e-06×40589641000000     		ar = 2126.78412352177m²