Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119953 / 119578
↖ ↑ ↗
← S 81.424588°
E149.460755°		 ← 45.53 m → S 81.424588°
E149.463501°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
S 81.424998°
E149.460755°		 ← 45.53 m →
2 074 m²		 S 81.424998°
E149.463501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915172576904297 y=0.912311553955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915172576904297 × 217)
    floor (0.915172576904297 × 131072)
    floor (119953.5)     		tx = 119953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912311553955078 × 217)
    floor (0.912311553955078 × 131072)
    floor (119578.5)     		ty = 119578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119953 / 119578 ti = "17/119953/119578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119953/119578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119953 ÷ 217
    119953 ÷ 131072     		x = 0.915168762207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119578 ÷ 217
    119578 ÷ 131072     		y = 0.912307739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915168762207031 × 2 - 1) × π
    0.830337524414062 × 3.1415926535     		Λ = 2.60858227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912307739257812 × 2 - 1) × π
    -0.824615478515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59060592926707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60858227} λ = 2.60858227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59060592926707))-π/2
    2×atan(0.0749745970164552)-π/2
    2×0.074834586771881-π/2
    0.149669173543762-1.57079632675     		φ = -1.42112715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60858227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.460755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42112715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.424588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119953 KachelY 119578 2.60858227 -1.42112715 149.460755 -81.424588
    Oben rechts KachelX + 1 119954 KachelY 119578 2.60863020 -1.42112715 149.463501 -81.424588
    Unten links KachelX 119953 KachelY + 1 119579 2.60858227 -1.42113430 149.460755 -81.424998
    Unten rechts KachelX + 1 119954 KachelY + 1 119579 2.60863020 -1.42113430 149.463501 -81.424998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42112715--1.42113430) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42112715--1.42113430) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60858227-2.60863020) × cos(-1.42112715) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149111015884897 × 6371000     		do = 45.5328425060022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60858227-2.60863020) × cos(-1.42113430) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149103945814786 × 6371000     		du = 45.5306835750409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42112715)-sin(-1.42113430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149111015884897-0.149103945814786)×R²
    abs(2.60863020-2.60858227)×7.07007011069294e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.07007011069294e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.07007011069294e-06×40589641000000     		ar = 2074.09246561014m²