Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119952 / 119598
↖ ↑ ↗
← S 81.432775°
E149.458008°		 ← 45.50 m → S 81.432775°
E149.460755°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
S 81.433184°
E149.458008°		 ← 45.50 m →
2 070 m²		 S 81.433184°
E149.460755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119598 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915164947509766 y=0.912464141845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915164947509766 × 217)
    floor (0.915164947509766 × 131072)
    floor (119952.5)     		tx = 119952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912464141845703 × 217)
    floor (0.912464141845703 × 131072)
    floor (119598.5)     		ty = 119598
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119952 / 119598 ti = "17/119952/119598"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119952/119598.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119952 ÷ 217
    119952 ÷ 131072     		x = 0.9151611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119598 ÷ 217
    119598 ÷ 131072     		y = 0.912460327148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9151611328125 × 2 - 1) × π
    0.830322265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60853433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912460327148438 × 2 - 1) × π
    -0.824920654296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59156466725948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60853433} λ = 2.60853433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59156466725948))-π/2
    2×atan(0.0749027504683416)-π/2
    2×0.0747631414467985-π/2
    0.149526282893597-1.57079632675     		φ = -1.42127004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60853433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42127004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.432775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119952 KachelY 119598 2.60853433 -1.42127004 149.458008 -81.432775
    Oben rechts KachelX + 1 119953 KachelY 119598 2.60858227 -1.42127004 149.460755 -81.432775
    Unten links KachelX 119952 KachelY + 1 119599 2.60853433 -1.42127718 149.458008 -81.433184
    Unten rechts KachelX + 1 119953 KachelY + 1 119599 2.60858227 -1.42127718 149.460755 -81.433184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42127004--1.42127718) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dl = 45.4889399993983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42127004--1.42127718) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dr = 45.4889399993983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60853433-2.60858227) × cos(-1.42127004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148969721807403 × 6371000     		do = 45.4991875205903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60853433-2.60858227) × cos(-1.42127718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148962661473455 × 6371000     		du = 45.4970311128697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42127004)-sin(-1.42127718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148969721807403-0.148962661473455)×R²
    abs(2.60858227-2.60853433)×7.06033394778927e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.06033394778927e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.06033394778927e-06×40589641000000     		ar = 2069.66076479571m²