Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119952 / 119309
↖ ↑ ↗
← S 81.313715°
E149.458008°		 ← 46.13 m → S 81.313715°
E149.460755°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
S 81.314130°
E149.458008°		 ← 46.12 m →
2 128 m²		 S 81.314130°
E149.460755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915164947509766 y=0.910259246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915164947509766 × 217)
    floor (0.915164947509766 × 131072)
    floor (119952.5)     		tx = 119952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910259246826172 × 217)
    floor (0.910259246826172 × 131072)
    floor (119309.5)     		ty = 119309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119952 / 119309 ti = "17/119952/119309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119952/119309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119952 ÷ 217
    119952 ÷ 131072     		x = 0.9151611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119309 ÷ 217
    119309 ÷ 131072     		y = 0.910255432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9151611328125 × 2 - 1) × π
    0.830322265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60853433
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910255432128906 × 2 - 1) × π
    -0.820510864257812 × 3.1415926535     		Φ = -2.57771090326928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60853433} λ = 2.60853433}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57771090326928))-π/2
    2×atan(0.0759476567258173)-π/2
    2×0.0758021368074428-π/2
    0.151604273614886-1.57079632675     		φ = -1.41919205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60853433} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.458008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41919205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.313715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119952 KachelY 119309 2.60853433 -1.41919205 149.458008 -81.313715
    Oben rechts KachelX + 1 119953 KachelY 119309 2.60858227 -1.41919205 149.460755 -81.313715
    Unten links KachelX 119952 KachelY + 1 119310 2.60853433 -1.41919929 149.458008 -81.314130
    Unten rechts KachelX + 1 119953 KachelY + 1 119310 2.60858227 -1.41919929 149.460755 -81.314130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41919205--1.41919929) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41919205--1.41919929) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60853433-2.60858227) × cos(-1.41919205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151024201984248 × 6371000     		do = 46.1266786489181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60853433-2.60858227) × cos(-1.41919929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151017045022615 × 6371000     		du = 46.1244927286154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41919205)-sin(-1.41919929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151024201984248-0.151017045022615)×R²
    abs(2.60858227-2.60853433)×7.15696163236523e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.15696163236523e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.15696163236523e-06×40589641000000     		ar = 2127.59061057102m²