Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119951 / 119596
↖ ↑ ↗
← S 81.431957°
E149.455261°		 ← 45.50 m → S 81.431957°
E149.458008°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
S 81.432366°
E149.455261°		 ← 45.50 m →
2 070 m²		 S 81.432366°
E149.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915157318115234 y=0.912448883056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915157318115234 × 217)
    floor (0.915157318115234 × 131072)
    floor (119951.5)     		tx = 119951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912448883056641 × 217)
    floor (0.912448883056641 × 131072)
    floor (119596.5)     		ty = 119596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119951 / 119596 ti = "17/119951/119596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119951/119596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119951 ÷ 217
    119951 ÷ 131072     		x = 0.915153503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119596 ÷ 217
    119596 ÷ 131072     		y = 0.912445068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915153503417969 × 2 - 1) × π
    0.830307006835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.60848639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.82489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59146879346024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60848639} λ = 2.60848639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59146879346024))-π/2
    2×atan(0.0749099320238585)-π/2
    2×0.0747702829317294-π/2
    0.149540565863459-1.57079632675     		φ = -1.42125576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60848639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.455261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42125576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.431957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119951 KachelY 119596 2.60848639 -1.42125576 149.455261 -81.431957
    Oben rechts KachelX + 1 119952 KachelY 119596 2.60853433 -1.42125576 149.458008 -81.431957
    Unten links KachelX 119951 KachelY + 1 119597 2.60848639 -1.42126290 149.455261 -81.432366
    Unten rechts KachelX + 1 119952 KachelY + 1 119597 2.60853433 -1.42126290 149.458008 -81.432366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42125576--1.42126290) × R
    7.1400000001276e-06 × 6371000     		dl = 45.4889400008129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42125576--1.42126290) × R
    7.1400000001276e-06 × 6371000     		dr = 45.4889400008129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60848639-2.60853433) × cos(-1.42125576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148983842452515 × 6371000     		do = 45.503500329073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60848639-2.60853433) × cos(-1.42126290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148976782133756 × 6371000     		du = 45.5013439259914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42125576)-sin(-1.42126290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148983842452515-0.148976782133756)×R²
    abs(2.60853433-2.60848639)×7.06031875882807e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.06031875882807e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.06031875882807e-06×40589641000000     		ar = 2069.85695020738m²