Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119951 / 119312
↖ ↑ ↗
← S 81.314959°
E149.455261°		 ← 46.12 m → S 81.314959°
E149.458008°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
S 81.315374°
E149.455261°		 ← 46.12 m →
2 127 m²		 S 81.315374°
E149.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915157318115234 y=0.910282135009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915157318115234 × 217)
    floor (0.915157318115234 × 131072)
    floor (119951.5)     		tx = 119951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910282135009766 × 217)
    floor (0.910282135009766 × 131072)
    floor (119312.5)     		ty = 119312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119951 / 119312 ti = "17/119951/119312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119951/119312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119951 ÷ 217
    119951 ÷ 131072     		x = 0.915153503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119312 ÷ 217
    119312 ÷ 131072     		y = 0.9102783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915153503417969 × 2 - 1) × π
    0.830307006835938 × 3.1415926535     		Λ = 2.60848639
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9102783203125 × 2 - 1) × π
    -0.820556640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57785471396814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60848639} λ = 2.60848639}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57785471396814))-π/2
    2×atan(0.0759367354255455)-π/2
    2×0.0757912781315131-π/2
    0.151582556263026-1.57079632675     		φ = -1.41921377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60848639} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.455261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41921377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.314959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119951 KachelY 119312 2.60848639 -1.41921377 149.455261 -81.314959
    Oben rechts KachelX + 1 119952 KachelY 119312 2.60853433 -1.41921377 149.458008 -81.314959
    Unten links KachelX 119951 KachelY + 1 119313 2.60848639 -1.41922101 149.455261 -81.315374
    Unten rechts KachelX + 1 119952 KachelY + 1 119313 2.60853433 -1.41922101 149.458008 -81.315374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41921377--1.41922101) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41921377--1.41922101) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60848639-2.60853433) × cos(-1.41921377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151002731075603 × 6371000     		do = 46.1201208807568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60848639-2.60853433) × cos(-1.41922101) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150995574090224 × 6371000     		du = 46.1179349532012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41921377)-sin(-1.41922101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151002731075603-0.150995574090224)×R²
    abs(2.60853433-2.60848639)×7.15698537909204e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.15698537909204e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.15698537909204e-06×40589641000000     		ar = 2127.28812659231m²