Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119950 / 119308
↖ ↑ ↗
← S 81.313300°
E149.452515°		 ← 46.12 m → S 81.313300°
E149.455261°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
S 81.313715°
E149.452515°		 ← 46.12 m →
2 127 m²		 S 81.313715°
E149.455261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915149688720703 y=0.910251617431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915149688720703 × 217)
    floor (0.915149688720703 × 131072)
    floor (119950.5)     		tx = 119950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910251617431641 × 217)
    floor (0.910251617431641 × 131072)
    floor (119308.5)     		ty = 119308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119950 / 119308 ti = "17/119950/119308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119950/119308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119950 ÷ 217
    119950 ÷ 131072     		x = 0.915145874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119308 ÷ 217
    119308 ÷ 131072     		y = 0.910247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915145874023438 × 2 - 1) × π
    0.830291748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60843846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910247802734375 × 2 - 1) × π
    -0.82049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57766296636966
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60843846} λ = 2.60843846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57766296636966))-π/2
    2×atan(0.0759512975082773)-π/2
    2×0.0758057567091403-π/2
    0.151611513418281-1.57079632675     		φ = -1.41918481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60843846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.452515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41918481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.313300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119950 KachelY 119308 2.60843846 -1.41918481 149.452515 -81.313300
    Oben rechts KachelX + 1 119951 KachelY 119308 2.60848639 -1.41918481 149.455261 -81.313300
    Unten links KachelX 119950 KachelY + 1 119309 2.60843846 -1.41919205 149.452515 -81.313715
    Unten rechts KachelX + 1 119951 KachelY + 1 119309 2.60848639 -1.41919205 149.455261 -81.313715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41918481--1.41919205) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41918481--1.41919205) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60843846-2.60848639) × cos(-1.41918481) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151031358937964 × 6371000     		do = 46.1192423589835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60843846-2.60848639) × cos(-1.41919205) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151024201984248 × 6371000     		du = 46.1170568970681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41918481)-sin(-1.41919205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151031358937964-0.151024201984248)×R²
    abs(2.60848639-2.60843846)×7.15695371603098e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.15695371603098e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.15695371603098e-06×40589641000000     		ar = 2127.24761444915m²