Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119950 / 118835
↖ ↑ ↗
← S 81.114876°
E149.452515°		 ← 47.16 m → S 81.114876°
E149.455261°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
S 81.115300°
E149.452515°		 ← 47.16 m →
2 224 m²		 S 81.115300°
E149.455261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915149688720703 y=0.906642913818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915149688720703 × 217)
    floor (0.915149688720703 × 131072)
    floor (119950.5)     		tx = 119950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906642913818359 × 217)
    floor (0.906642913818359 × 131072)
    floor (118835.5)     		ty = 118835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119950 / 118835 ti = "17/119950/118835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119950/118835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119950 ÷ 217
    119950 ÷ 131072     		x = 0.915145874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118835 ÷ 217
    118835 ÷ 131072     		y = 0.906639099121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915145874023438 × 2 - 1) × π
    0.830291748046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60843846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906639099121094 × 2 - 1) × π
    -0.813278198242188 × 3.1415926535     		Φ = -2.55498881284937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60843846} λ = 2.60843846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55498881284937))-π/2
    2×atan(0.0776931012268668)-π/2
    2×0.0775373407964435-π/2
    0.155074681592887-1.57079632675     		φ = -1.41572165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60843846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.452515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41572165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.114876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119950 KachelY 118835 2.60843846 -1.41572165 149.452515 -81.114876
    Oben rechts KachelX + 1 119951 KachelY 118835 2.60848639 -1.41572165 149.455261 -81.114876
    Unten links KachelX 119950 KachelY + 1 118836 2.60843846 -1.41572905 149.452515 -81.115300
    Unten rechts KachelX + 1 119951 KachelY + 1 118836 2.60848639 -1.41572905 149.455261 -81.115300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41572165--1.41572905) × R
    7.39999999987973e-06 × 6371000     		dl = 47.1453999992337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41572165--1.41572905) × R
    7.39999999987973e-06 × 6371000     		dr = 47.1453999992337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60843846-2.60848639) × cos(-1.41572165) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154453880395054 × 6371000     		do = 47.1643504588398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60843846-2.60848639) × cos(-1.41572905) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15444656919083 × 6371000     		du = 47.1621178946761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41572165)-sin(-1.41572905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154453880395054-0.15444656919083)×R²
    abs(2.60848639-2.60843846)×7.31120422439724e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.31120422439724e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.31120422439724e-06×40589641000000     		ar = 2223.52954046906m²