Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119947 / 119557
↖ ↑ ↗
← S 81.415983°
E149.444275°		 ← 45.58 m → S 81.415983°
E149.447021°		 →
↑
45.62 m
↓
↑
45.62 m
↓
S 81.416393°
E149.444275°		 ← 45.58 m →
2 079 m²		 S 81.416393°
E149.447021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915126800537109 y=0.912151336669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915126800537109 × 217)
    floor (0.915126800537109 × 131072)
    floor (119947.5)     		tx = 119947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912151336669922 × 217)
    floor (0.912151336669922 × 131072)
    floor (119557.5)     		ty = 119557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119947 / 119557 ti = "17/119947/119557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119947/119557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119947 ÷ 217
    119947 ÷ 131072     		x = 0.915122985839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119557 ÷ 217
    119557 ÷ 131072     		y = 0.912147521972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915122985839844 × 2 - 1) × π
    0.830245971679688 × 3.1415926535     		Λ = 2.60829465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912147521972656 × 2 - 1) × π
    -0.824295043945312 × 3.1415926535     		Φ = -2.58959925437505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60829465} λ = 2.60829465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58959925437505))-π/2
    2×atan(0.075050110062978)-π/2
    2×0.0749096772950197-π/2
    0.149819354590039-1.57079632675     		φ = -1.42097697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60829465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.444275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42097697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.415983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119947 KachelY 119557 2.60829465 -1.42097697 149.444275 -81.415983
    Oben rechts KachelX + 1 119948 KachelY 119557 2.60834258 -1.42097697 149.447021 -81.415983
    Unten links KachelX 119947 KachelY + 1 119558 2.60829465 -1.42098413 149.444275 -81.416393
    Unten rechts KachelX + 1 119948 KachelY + 1 119558 2.60834258 -1.42098413 149.447021 -81.416393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42097697--1.42098413) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dl = 45.6163600000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42097697--1.42098413) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dr = 45.6163600000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60829465-2.60834258) × cos(-1.42097697) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149259515259709 × 6371000     		do = 45.5781885765485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60829465-2.60834258) × cos(-1.42098413) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149252435461796 × 6371000     		du = 45.576026675086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42097697)-sin(-1.42098413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149259515259709-0.149252435461796)×R²
    abs(2.60834258-2.60829465)×7.0797979124515e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.0797979124515e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.0797979124515e-06×40589641000000     		ar = 2079.06174925028m²