Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119945 / 119559
↖ ↑ ↗
← S 81.416803°
E149.438782°		 ← 45.58 m → S 81.416803°
E149.441528°		 →
↑
45.62 m
↓
↑
45.62 m
↓
S 81.417213°
E149.438782°		 ← 45.58 m →
2 079 m²		 S 81.417213°
E149.441528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915111541748047 y=0.912166595458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915111541748047 × 217)
    floor (0.915111541748047 × 131072)
    floor (119945.5)     		tx = 119945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912166595458984 × 217)
    floor (0.912166595458984 × 131072)
    floor (119559.5)     		ty = 119559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119945 / 119559 ti = "17/119945/119559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119945/119559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119945 ÷ 217
    119945 ÷ 131072     		x = 0.915107727050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119559 ÷ 217
    119559 ÷ 131072     		y = 0.912162780761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915107727050781 × 2 - 1) × π
    0.830215454101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.60819877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912162780761719 × 2 - 1) × π
    -0.824325561523438 × 3.1415926535     		Φ = -2.58969512817429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60819877} λ = 2.60819877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58969512817429))-π/2
    2×atan(0.0750429150687041)-π/2
    2×0.0749025225958616-π/2
    0.149805045191723-1.57079632675     		φ = -1.42099128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60819877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.438782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42099128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.416803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119945 KachelY 119559 2.60819877 -1.42099128 149.438782 -81.416803
    Oben rechts KachelX + 1 119946 KachelY 119559 2.60824671 -1.42099128 149.441528 -81.416803
    Unten links KachelX 119945 KachelY + 1 119560 2.60819877 -1.42099844 149.438782 -81.417213
    Unten rechts KachelX + 1 119946 KachelY + 1 119560 2.60824671 -1.42099844 149.441528 -81.417213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42099128--1.42099844) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dl = 45.6163600000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42099128--1.42099844) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dr = 45.6163600000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60819877-2.60824671) × cos(-1.42099128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149245365544234 × 6371000     		do = 45.5833762128883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60819877-2.60824671) × cos(-1.42099844) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14923828573103 × 6371000     		du = 45.5812138557013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42099128)-sin(-1.42099844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149245365544234-0.14923828573103)×R²
    abs(2.60824671-2.60819877)×7.0798132044414e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.0798132044414e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.0798132044414e-06×40589641000000     		ar = 2079.29838005713m²