Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119943 / 119561
↖ ↑ ↗
← S 81.417623°
E149.433289°		 ← 45.57 m → S 81.417623°
E149.436035°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
S 81.418033°
E149.433289°		 ← 45.57 m →
2 076 m²		 S 81.418033°
E149.436035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915096282958984 y=0.912181854248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915096282958984 × 217)
    floor (0.915096282958984 × 131072)
    floor (119943.5)     		tx = 119943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912181854248047 × 217)
    floor (0.912181854248047 × 131072)
    floor (119561.5)     		ty = 119561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119943 / 119561 ti = "17/119943/119561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119943/119561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119943 ÷ 217
    119943 ÷ 131072     		x = 0.915092468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119561 ÷ 217
    119561 ÷ 131072     		y = 0.912178039550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915092468261719 × 2 - 1) × π
    0.830184936523438 × 3.1415926535     		Λ = 2.60810290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912178039550781 × 2 - 1) × π
    -0.824356079101562 × 3.1415926535     		Φ = -2.58979100197353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60810290} λ = 2.60810290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58979100197353))-π/2
    2×atan(0.0750357207642086)-π/2
    2×0.074895368574937-π/2
    0.149790737149874-1.57079632675     		φ = -1.42100559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60810290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.433289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42100559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.417623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119943 KachelY 119561 2.60810290 -1.42100559 149.433289 -81.417623
    Oben rechts KachelX + 1 119944 KachelY 119561 2.60815083 -1.42100559 149.436035 -81.417623
    Unten links KachelX 119943 KachelY + 1 119562 2.60810290 -1.42101274 149.433289 -81.418033
    Unten rechts KachelX + 1 119944 KachelY + 1 119562 2.60815083 -1.42101274 149.436035 -81.418033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42100559--1.42101274) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42100559--1.42101274) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60810290-2.60815083) × cos(-1.42100559) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149231215798198 × 6371000     		do = 45.5695469955336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60810290-2.60815083) × cos(-1.42101274) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149224145857737 × 6371000     		du = 45.5673881041624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42100559)-sin(-1.42101274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149231215798198-0.149224145857737)×R²
    abs(2.60815083-2.60810290)×7.06994046109632e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.06994046109632e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.06994046109632e-06×40589641000000     		ar = 2075.76445331m²