Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119941 / 118509
↖ ↑ ↗
← S 80.975506°
E149.427795°		 ← 47.91 m → S 80.975506°
E149.430542°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
S 80.975937°
E149.427795°		 ← 47.91 m →
2 295 m²		 S 80.975937°
E149.430542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915081024169922 y=0.904155731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915081024169922 × 217)
    floor (0.915081024169922 × 131072)
    floor (119941.5)     		tx = 119941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904155731201172 × 217)
    floor (0.904155731201172 × 131072)
    floor (118509.5)     		ty = 118509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119941 / 118509 ti = "17/119941/118509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119941/118509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119941 ÷ 217
    119941 ÷ 131072     		x = 0.915077209472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118509 ÷ 217
    118509 ÷ 131072     		y = 0.904151916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915077209472656 × 2 - 1) × π
    0.830154418945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.60800702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904151916503906 × 2 - 1) × π
    -0.808303833007812 × 3.1415926535     		Φ = -2.53936138357323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60800702} λ = 2.60800702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53936138357323))-π/2
    2×atan(0.0789167812546041)-π/2
    2×0.0787535632091485-π/2
    0.157507126418297-1.57079632675     		φ = -1.41328920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60800702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.427795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41328920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.975506°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119941 KachelY 118509 2.60800702 -1.41328920 149.427795 -80.975506
    Oben rechts KachelX + 1 119942 KachelY 118509 2.60805496 -1.41328920 149.430542 -80.975506
    Unten links KachelX 119941 KachelY + 1 118510 2.60800702 -1.41329672 149.427795 -80.975937
    Unten rechts KachelX + 1 119942 KachelY + 1 118510 2.60805496 -1.41329672 149.430542 -80.975937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41328920--1.41329672) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dl = 47.909920000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41328920--1.41329672) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dr = 47.909920000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60800702-2.60805496) × cos(-1.41328920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156856681686537 × 6371000     		do = 47.9080680780235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60800702-2.60805496) × cos(-1.41329672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156849254769357 × 6371000     		du = 47.9057997063481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41328920)-sin(-1.41329672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156856681686537-0.156849254769357)×R²
    abs(2.60805496-2.60800702)×7.42691717911526e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.42691717911526e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.42691717911526e-06×40589641000000     		ar = 2295.21737006423m²